Paras vastaus
Lähetetyn lauseke kysymys ei ole oikein.
Binomioteoreema
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
pätee kaikille kompleksilukuille x ja y ja ei-negatiiviset kokonaisluvut n .
Olkoon x = 1 ja y = -1. Sitten oikealla puolella on haluamasi vaihtelevat erot ja yhdistelmäsummat (joita kutsutit valitsemaan s). Vasemmalla puolella on 0 ^ n, jonka oletettavasti oletat olevan 0. Kuitenkin binomioteoreema, kuten edellä todettiin, koskee kaikkia ei-negatiivisia kokonaislukuja. n , joka sisältää 0, jolloin vasen puoli on 0 ^ 0 = 1 – tapaus, jota et sallinut.
Jos et usko minua, kokeile tätä triviaalia harjoitusta: Kirjoita Pascalin kolmion ensimmäiset rivit. Lähetetyn kysymyksen ”Valitse” -kaava vastaa minkä tahansa rivin valitsemista ja aloita vasemmanpuoleisesta elementistä (joka on aina 1 riippumatta siitä, minkä rivin valitset), vähennä sitten seuraava elementti oikealle ja jatka vuorottelua lisäämällä ja vähentämällä kaikki kyseisen rivin elementit. Huomaa, että rivillä, joka sisältää 1 1, ja rivillä, joka sisältää 1 2 1, ja rivillä, joka sisältää 1 3 3 1, saadaan kaikki tällä prosessilla 0. Mitä kuitenkin tapahtuu ylimmällä rivillä, joka sisältää vain yhden? Aloitetaan siitä 1 ja valmistaudumme vähentämään seuraava elementti, mutta seuraavaa elementtiä ei ole, joten olemme jo tehneet tuloksen 1, ei 0. Ei ole mitään tarvetta sulkea ylintä riviä käsitteestä, että vuorottelevat erot ja summat tuottavat 0 ^ n kaikilla riveillä.
Jos olet yksi niistä, joille on olemassa hangout liittyen 0 ^ 0 = 1: een, sinun on todellakin päästävä yli hangupista, ainakin asiayhteydessä kokonaislukueksponentteja. Jos pidät arvoa 0 ^ 0 määrittelemättömänä, heität yhtä hyvin binomilauseen ja yllä olevan todistuksen, koska et voinut käyttää binomilausea (0 + y) ^ {n} ja (x + 0) ^ { n}, riippumatta arvosta n , koska edellisen tehon binomilaajennuksen viimeinen termi ja jälkimmäisen tehon binomilaajennuksen viimeinen termi molemmissa on 0 ^ 0, joten sinun on kutsuttava tätä summaa määrittelemättömäksi ja lisättävä muuten täysin tarpeeton ja typerä poissulkeminen, jota binomilause ei koske x = 0 ja y = 0. Rikkot myös tyhjätuotesääntöä, joka osoittaa, että tekijöiden tuloksen ei tarvitse olla kerrottava identiteettielementti , 1. Suhde 0! = 1 on tärkeä myös binomilauseelle, samoin kuin monille muille paikoille – mutta 0: lla! yksi ei kerro mitään tekijöitä, jotka alkavat 1: stä, joten se on tyhjä tuote, ja viime kädessä tyhjän tuotteen sääntö kertoo meille, että 0! = 1. Sama tyhjän tuotteen sääntö kertoo meille, että x ^ 0 = 1 kaikille kompleksiluvuille x , ja x -arvo ei koske tyhjätuotesääntöä, joten kyllä, x = 0 pätee yhtä hyvin kuin muutkin x -arvot – mitään poikkeustapauksia ei voida perustella millään tavalla.
On olemassa lukuisia muita syitä 0 ^ 0 = 1: n suhteen ainakin kokonaislukueksponenttien yhteydessä: polynomien ja tehosarjojen kaavainen määritelmä ∑-merkintää käyttäen ja tällaisten polynomien ja tehosarjojen manipulointi, erilaiset kombinatoriset ongelmat ja muut. Ei ole mitään järkevää perustetta sille, miksi 0 ^ 0: lla on jokin muu arvo kuin 1 tai pitää sitä määrittelemättömänä, ainakin kokonaislukueksponenttien yhteydessä.
Jotkut teistä saattavat olla hieman ahdistuneita minä kirjoitan sellaista, koska se rikkoo kaikkea, mitä sinulle on opetettu – ehkä niin paljon ahdistusta, että sinulla on vaikea edes ajatella kirjoittamani mahdollista pätevyyttä, ja aiot kirjoittaa vastauskommentin kertoaksesi minulle missä olen väärässä. Jotta et näyttäisi typerältä virheellisillä kommenteilla, jatkan eteenpäin ja käsittelen sitä, mitä odotan tulevan:
- “Oppikirjani ja opettajani sanoivat, että 0 ^ 0 on määrittelemätön, ja he voisivat ole väärässä. ” Vihaan sitä, että minun on kerrottava sinulle ja saatettava kuplasi puhkeamaan opettajiesi ja oppikirjojesi suhteen, mutta lukion matematiikan (ja muiden oppiaineiden) oppikirjoissa on monia aiheita, jotka on yksinkertaistettu väärin. Kommenttini täällä eivät ole tarkoitettu lukion matematiikan opettajien pudotukseksi – heillä on haastava tehtävä, ja useimmat haluavat todella tehdä hienoa työtä ja auttaa opiskelijoita edistymään.Suurin osa toisen asteen matematiikan opettajista ei suorittanut matematiikkaa pääopinnoissaan – useimmat matematiikkaan erikoistuneesta koulutuksesta. He oppivat kuinka eri opiskelijat ajattelevat, kuinka selittää eri kohtia eri tavoin, kuinka löytää ja diagnosoida opiskelijoiden aiheita aineiston kanssa ja muita erittäin arvokkaita asioita, jotka eivät liity suoraan matematiikkaan. He viettävät aikaa harhaluokissa sekä todellisissa luokkahuoneissa varsinaisen opettajan ohjaaman silmän alla saadakseen harjoittelua. He saavat paljon perusteellisen katsauksen matematiikkaan, jonka he odottavat opetusta, mikä tarkoittaa lukion tasolla. He suorittavat muutaman yliopistotason matematiikkakurssin ohjelmassaan, mutta eivät läheskään niin monta tai yhtä pitkälle kuin mitä matematiikan pääaine ottaisi. Matematiikan pääaineet eivät tee mitään näistä, mutta etenevillä kursseillaan saavat enemmän altistusta todellisille, eläville, ammattimaisille matemaatikoille, ja useimmat matematiikan opettajat eivät saa tätä altistumista – he eivät ymmärrä, kuinka matemaatikot itse määrittelevät asioita, kuten luonnolliset numerot ja kokonaisluvut, rajoitettu altistuminen matemaatikoille, jotka käyttävät radiaaneja asteen sijasta kulmamittauksissa (ja kulmien yksikkösymbolin puuttuminen tarkoittaa radiaaneja, ei asteita), ilman että se imeytyy siihen, mitä ammattimatemaatikot pitävät sopivana toimintajärjestyksenä (eikä , se ei ole PEMDAS, BODMAS,…) jne. Matematiikan opettajat opettavat, mitä kirjassa sanotaan opettaa, eivätkä he ole tietoisia siitä, että opettavat sinulle asioita, jotka ovat ristiriidassa ammatillisten matemaatikkojen kanssa.
- Eksponenttien jakosäännöt: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, mikä on määrittelemätön, joten 0 ^ 0: n on oltava määrittelemätön, koska ne ovat yhtä suuria. Toisessa = on tehty virheellinen vaihe. Yksi eksponenttien jakautumislaeista on b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, mutta sillä on joitain rajoituksia käytettäväksi. Yksi niistä on se, että lain soveltaminen ei missään vaiheessa saa tuottaa lauseketta, johon liittyy 0: n vastavuoro tai jakaminen 0: lla. Siksi tämän lain käyttö on kielletty, kun b = 0, koska se tuottaa hölynpölyä – ja sitä hölynpölyä haluat käyttää toteen ”todistamiseen”. Anteeksi, mutta todistamaan asian, et voi käyttää jotain, joka on niin hölynpölyä, että se on virheellistä. Virheelliset vaiheet ovat epäonnistunut todiste. Lisäksi kirjoitat esimerkiksi a = b = c , jossa c on määrittelemätön, on virheellinen – a ja b saattaa olla virheellinen. Yhtälöitä ei saa käyttää, kun ainakin yksi sivuista on määrittelemätön tai muuten virheellinen. Sinulla on kielletty päätellä edes, että 1/0 = 1/0, koska molemmat osapuolet ovat määrittelemättömiä, joten et voi sanoa, että ne ovat tasa-arvoisia – kuinka voisit tietää, että kaksi asiaa on tasa-arvoinen, kun sinulla ei edes ole aavistustakaan, mitä nuo kaksi asiaa tarkoittaa (ja sinulla ei voi olla aavistustakaan, koska heillä ei ole määritelmää).
- ”0 ^ 0 on määrittelemätön muoto, joten sillä ei voi olla arvoa – minun laskentaoppikirjani sanoo niin.” Määrittelemättömien muotojen käsite on hyvin todellinen ja hyödyllinen, kunhan pidät sen aiotussa yhteydessä. Määrittelemättömät muodot koskevat vain rajoja – ettet voi tarkastella sitä muotoa ja määrittää, onko raja olemassa, ja jos on, mikä tämä raja-arvo on. Kirjoittaminen 0 ^ 0 viittaa siihen, mikä on arvon f (x, y) = x ^ y kohdassa (x, y) = (0, 0) – mikä ei ole raja, kun x ja y lähestyvät 0 riippumatta. Rajaa voi olla, mutta toimintoa ei ole määritelty siellä; funktio voidaan määritellä siellä, mutta rajaa ei ole. Näillä kahdella käsitteellä ei ole mitään tekemistä toistensa kanssa, paitsi kun jompikumpi tai molemmat (määrittävä arvo ja raja-arvo) epäonnistuvat, funktio ei ole jatkuva siinä vaiheessa. Sanominen, että raja on muotoa 0 ^ 0, tarkoittaa, että pelkästään näiden tietojen perusteella ei voida kertoa, onko raja olemassa ja mikä on sen arvo. Tällä tosiasialla ei ole mitään tekemistä sen kanssa, onko 0 ^ 0 = 1 vai onko sitä määrittelemätön. Sanomalla 0 ^ 0 = 1 ei sanota, että muodon 0 ^ 0 saavalle rajalle on annettava arvo 1.
- 0 ^ y = 0 kaikille positiivisille y ja x ^ 0 = 1 kaikille nollille x . (Monet tätä argumenttia käyttävät ihmiset unohtavat, että y ei saa olla negatiivinen ja käsitellä näitä kahta tapausta symmetrisenä.) Jos korvataan 0 molemmilla x ja y , yhdessä tapauksessa 0 ^ 0 = 0 ja toisessa tapauksessa 0 ^ 0 = 1 – ristiriita , joten sitä ei voida määritellä. Katsotaanpa. On olemassa kaksi lukua, joiden neliö on 9: +3 ja −3; siis 9: n neliöjuuri on +3, mutta 9: n neliöjuuri on −3. Voi, meillä on ristiriita, joten yhdeksän neliöjuuria ei saa olla – sen on oltava määrittelemätön.Ei, +3 on hyödyllisempi vastaus kuin −3, joten määritämme √9 = 3. Tosiasia, että x ^ 0 = 1 paitsi kaikilla ei-nollatodellisilla todellisilla x mutta myös kaikille nollakomplekseille x ja jopa kaikille ei-nollakvaterioneille x ; toisaalta 0 ^ y toimii suoraviivaisella tavalla vain positiivisten todellisten x – ei negatiivisten, ei kuvitteellisten, joten ei ole järkevämpää mene määritelmän kanssa, jossa on vain yksi reikä sen sijaan, että harkitsisit vakavasti vaihtoehtoa, jossa on lukemattomia reikiä ? Tulos 1 on paljon, paljon, paljon hyödyllisempi kuin 0 arvolle 0 ^ 0. Jos olemme halukkaita kutsumaan 9: n neliöjuureksi +3, kun etusijalle on paljon vähemmän syytä, kuinka paljon enemmän kutsua 0 ^ 0 = 1, kun etusijalle on erittäin vahva syy. Tyhjä tuote -sääntö edellyttää, että valitaan 1 eikä 0. Monien käytännön sovellusten mukaan 1 on erittäin hyödyllinen tulos, kun taas 0 tai määrittelemätön olisi ongelmallinen tulos. Mikään mielekäs sovellus ei ole 0: sta hyödyllinen tulos, joten valitsemme 1.
Vastaa
\ text {Kuten binomilauseessa}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m
\ teksti {Korvataan a = 1 ja x merkillä – 1}
(1 – 1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ tarkoittaa 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0} – \ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2} – \ displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ text {QED}