Paras vastaus
Näin lähestyisin likimääräistä ratkaisua:
x: n arvon on oltava aikavälillä [-1,1] kuin sen x ^ 2> 1 ulkopuolella, joka on \ sin {x} -alueen ulkopuolella. Se voidaan edelleen rajoittaa väliin [0,1], kun kun -1 \ le x , \ sin {x} <0 kun taas x ^ 2> 0. Välillä [0,1] on triviaali ratkaisu x = 0: lle.
Millä x = \ frac {\ pi} {6}, \ sin {x} = \ frac {1} {2 } kun taas x ^ 2 <\ frac {1} {2}. Koska paljon suuremman x: n kohdalla meillä on selvästi x ^ 2> \ sin {x}, välissä (0,1] on oltava ainakin yksi ratkaisu. Lisäksi tällä aikavälillä \ sin {x} on negatiivinen toinen johdannainen, kun taas x ^ 2: lla on positiivinen toinen johdannainen, joten intervallissa on korkeintaan yksi ratkaisu (0,1). Kun x ^ 2: n käyrä ohittaa \ sin {x}: n, se ei voi ylittää takaisin.
Joten kohdassa (0,1] on täsmälleen yksi ratkaisu. Ratkaisun arvioimiseksi käytä Taylor-sarjan kahta ensimmäistä termiä sinifunktiolle saadaksesi x- \ frac {x ^ 3} {6} = x ^ 2. Tämä pienentää arvoksi x ^ 2 + 6x-6 = 0 tai x = \ sqrt {15} -3 likimääräisenä ratkaisuna. Kuuden desimaalin tarkkuudella \ sqrt {15} -3 \ noin 0,872983.
Vertailun vuoksi numeerinen approksimaatio antaa ratkaisun kuuteen desimaaliin, kuten x = 0,876726. Joten likiarvomme käyttämällä vain kahta Taylor-sarjan termiä oli melko lähellä, mutta ei täydellinen.
Vastaus / h2>
Tällaisessa kysymyksessä on yleensä hyvä piirtää funktiot saadaksesi käsityksen niiden käyttäytymisestä. haluat esimerkiksi reaalilukuvastauksia.
Voimme lisätä 2x molemmille puolille ja jakaa sitten 2: lla saadaksesi x = 1,3 \ sin (x). Sinifunktio on rajattu välillä -1 ja 1, joten meidän on kiinnitettävä huomiota vain arvoihin x välillä -1,3 ja 1,3. Kuvaaja y = x on vain suora viiva. Kaavio y = 1,3 \ sin (x) on kalteva ylöspäin välillä -1,3 ja 1,3, koska 1,3 on pienempi kuin suorakulma ja sini nousee arvosta – \ pi / 2 arvoon \ pi / 2.
Jos tiedät jonkin laskennan, tiedät, että nopeus, jolla 1,3 \ sin (x) kasvaa, annetaan 1,3 \ cos (x). Tämä muutosnopeus kasvaa sitten taas (jota kutsutaan taivutuspisteeksi). Kuvaaja y = 1,3 \ sin (x) on kovera -1,3: sta 0: een ja sitten kovera 0: sta 1,3: een. On suhteellisen helppo havaita, että x = 0 on ratkaisu. Koska y = 1,3 \ sin (x): n kaltevuus on suurempi kuin y = x: n kaltevuus tässä pisteessä, se ylittää alhaalta ylöspäin siellä. Nyt tässä vaiheessa päätin, että minun pitäisi selvittää arvon 1,3 \ sin (1,3) arvo. Muista tietysti, että sinifunktio koskee radiaaneina annettuja kulmia. Se on alle 1,3.
Tässä vaiheessa saatat päätellä tilanteen luonteen. Nämä kaksi toimintoa risteävät toisiaan kolme kertaa välillä -1,3 – 1,3. Kutsu positiivinen ratkaisu c. Symmaattisuuden (1,3 \ sin (-c) = – 1,3 \ sin (c) = 2 (-c)) vuoksi negatiivinen ratkaisu on -c. Koveruus 1,3 \ sin (x) estää muita ratkaisuja. Joten jäljellä on vain selvittää, mitä c on.
Joidenkin opiskelijoiden mielestä outoa on, että tällaisen yhtälön ratkaisulle ei usein ole ”suljettua muotoa”. Voimme sanoa, että ratkaisu on välillä 0 ja 1,3, mutta uskon, että tässä tapauksessa meillä ei ole kaavaa sille tuttujen toimintojen suhteen. Joten jos haluat käsitellä sitä, sinun on päätettävä, mitä sinun on tiedettävä siitä.
Jos haluat laskea sen tarkkuudella, on olemassa muutama menetelmä. Tässä tapauksessa toimii naiivi lähestymistapa. Jos otat arvon x välillä 0 ja 1,3, jos se on pienempi kuin ratkaisu, 1,3 \ sin (x) on suurempi ja jos se on suurempi kuin ratkaisu, 1,3 \ sin (x) on pienempi. Joten jos jatkat x-arvon korvaamista arvolla 1,3 \ sin (x), se lähestyy juurta. Joten sano, aloitan x = 1,0. Sitten 1,3 \ sin (1) = 1,9039 … joten käytä sitä seuraavaksi x: n arvona. Tämä prosessi yhtyy ratkaisuun, vaikkakaan ei kovin nopeasti, koska jokainen vaihe tuo arvon vain jonkin verran lähemmäksi ratkaisua.
Toinen menetelmä on jakaa intervalli osiin. Joten voisimme yrittää arvioida 1,3 \ sin (1.1) ja 1,3 \ sin (1.2) saadaksemme ratkaisun ensimmäisen desimaalin. Koska 1.3 \ sin (1.1) <1.1 ja 1.3 \ sin (1.2)> 1.2, juuri näyttää olevan juuren välillä 1.1 ja 1.2. Sitten voimme kokeilla 1,3 \ sin (1,15) nähdäksesi, onko ratkaisu pienempi vai suurempi kuin 1,15. Tämä menetelmä ei myöskään lähene niin nopeasti, vaikka se toimii hyvin joissakin tilanteissa, joissa ensimmäinen menetelmä ei.
On joitain muita menetelmiä ( Root- algoritmin löytäminen – Wikipedia ), erityisesti sekanttimenetelmä ja Newtonin menetelmä. Ne lähestyvät nopeammin.
Secant-menetelmä pitää kaksi likiarvoa kummallakin puolella, esimerkiksi 1.1 ja 1.2. Sitten teeskentelemme, että kaaviot ovat molemmat suoria viivoja saadaksemme likimääräisen ratkaisun. Laskenta ei ole aivan yhtä yksinkertaista, vaikkakaan se ei oikeastaan ole mukana.
Newtonin iteraation avulla piirrät käyrälle tangenttiviivan, jotta voit arvioida käyrien ristikkäisyyttä, ja toista sitten. Jos aloitat arvolla, joka on riittävän lähellä juurta, se yleensä lähenee kohtuullisen nopeasti.Tarkkuuden numeroiden lukumäärä yleensä kaksinkertaistuu jokaisen vaiheen kohdalla (vaikkakin näyttää epätodennäköiseltä, että kukaan haluaa monta tarkkuutta juurelle).