paras vastaus
Miten rusketuksen teeta = -2 ratkaistaan?
Tätä varten aloitetaan käyttämällä arctan -funktiota, joka on käänteinen funktioon tangentti ja löytää arvon \ theta siten, että \ tan (\ theta) = -2.
Voimme laskea arvon, mutta tämä on monimutkainen ”menettely, johon sisältyy” kuvitteellisia ”numeroita. Tämä näyttää paljon vaivaa, joten taulukoiden käyttäminen olisi helpompaa, vaikka ehkä hieman epätarkempi. Vaikka vanhempani parvella on vanha sarja, siitä ei ole minulle mitään hyötyä tällä hetkellä, joten haetaan Internetistä joitain taulukoita. Odota, jos minulla on pääsy Internetiin, miksi et näe, pystyykö Internet suorittamaan laskutoimituksen minulle?
No, nämä likiarvot ovat todennäköisesti tarkempia kuin tarvitsemme, mutta pidämme kiinni niistä toistaiseksi.
Ehkä et pidä ajatuksesta negatiivisista kulmista? Älä huoli, nämä on helppo muuntaa positiivisiksi kulmiksi lisäämällä 2π radiaania / 360 °.
Siten meillä on 5,17603659 radiaania / 296,5650512 °
Mutta emme ole vielä valmiit !
arctan -funktio palauttaa vain kulmat yksinoikeudella (-0,5 \ pi, 0,5 \ pi) eli (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Joten, onko olemassa muita kulmia, joiden tangentin arvo on -2?
Ensinnäkin tangentti -toiminto antaa negatiivisen arvon, kun kulma on toisessa ja neljännessä neljänneksessä, nimittäin kun kulmat ovat yksinoikeusalueilla (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) ja (270 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). Meillä on jo ratkaisu neljännessä kvadrantissa, joten mikä on ratkaisu toisessa kvadrantissa? Se on itään, ota vain π radiaania / 180 ° neljännen kvadrantin ratkaisusta.
Miksi? No, funktion tangentti yhdistetyn kulman kaavasta meillä on:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – kuten \ tan (\ pi) = 0
Tämä antaa meille toisen ratkaisumme, 2,03444393 radiaania / 116,5650512 °
Toiseksi, tangentti -toiminto on jaksollinen, jakso 2π radiaania / 360 °; tämä tarkoittaa, että minkä tahansa 2π radiaanin / 360 ° moninkertaisen määrän lisääminen kulmaan palauttaa saman tangentin arvon.
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – kuten \ tan (2 \ pi) = 0
Kun siis käytetään k: tä edustamaan mitä tahansa kokonaislukua, koko ratkaisujoukkomme on:
(2.03444393 + k \ pi) \ radiaaneja tai (116.5650512 + 360k) ^ {\ circ}
Vastaa
Muista, että sec (theta) = 1 / (cos (theta). Sitten sinulla on
Cos ( theta) + 1 / (cos (theta) = 3, joka on asteikon yhtälö cos (theta): ssa. Tämän yhtälön kaksi juurta ovat (3 + – sqrt (5)) / 2, jotka ovat itse asiassa 1 + – phi, missä phi on kuuluisa ”kultainen suhde” ja ovat neliöllisen x ^ 2 – x – 1 juuret.
Koska phi on juuri, tämän yhtälön jakaminen phi ^ 2: lla osoittaa, että toinen juuri on -1 / phi. Ja koska phi + 1 = phi ^ 2, alkuperäisen yhtälön juuret ovat phi ^ 2 ja 1 / phi ^ 2. Koska kosinin on oltava 1, meidän on käytettävä pienempää juurta .
Tarkastellaan nyt muinaista Fibonacci-sarjaa 0, 1,1, 2, 3, 5, 8, jossa (n + 1): n luku on n: n ja (n -1): n termin summa. Osoittautuu, että phi ja sen konjugaattijuuri liittyvät läheisesti tähän sarjaan. Tapa, jolla tämä pätee tässä, on seuraava:
Jos n. Fibonacci-termi on F (n), niin phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (Todiste on induktio n: lle käyttäen viimeisessä vaiheessa Fibonacci-määritelmää F (n + 1) = F (n) + F (n-1).) Haluat sitten näyttää, että phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. 6. ja 7. F ovat 5 ja 8. Joten olet arvioinut
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1 – sqrt (5)) / 2). Jos kerrot tämän ja järkeistät toista termiä, saat 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED