Paras vastaus
Kyllä, se on naamioitu Monty Hallin ongelma. Tuon ongelman ”vaihtaminen” on vain tapa korostaa, että yksi todennäköisyys on erilainen kuin toinen. Tässä ongelmassa haluat mieluummin oven, jonka isäntä olisi voinut avata, mutta ei. Tässä mieluummin olisit vanki, jonka vartija olisi voinut nimetä, mutta ei. Sama asia.
A on väärä. Hän luulee oppineensa vain tietoa B: stä eikä mitään A: sta tai C: stä. Mutta hän sai oppia jotain C: stä: vartija olisi voinut nimetä hänet, mutta ei ei. Kolikon kääntämisen takia, vartija olisi nimittänyt C: n 50\% ajasta, jolloin A olisi armahdettu. Mutta hän nimittäisi B: n 100\% ajasta, jolloin C olisi armahdettu. Tämä suhde – 50\%: sta 100\%: iin – tekee nyt kaksinkertaisen todennäköiseksi, että C: lle anteeksi annetaan.
Historiallinen puoli: Mainitsemasi ongelma oli julkaistiin alun perin Martin Gardnerin Scientific Americanin lokakuun (mielestäni) vuonna 1959 julkaisemassa numerossa. Samassa numerossa hän pyysi anteeksi, että hän sai väärän vastauksen tähän kysymykseen:
- Mr. Smithillä on kaksi lasta. Ainakin yksi heistä on poika. Mikä on todennäköisyys, että molemmat lapset ovat poikia?
Hän oli alun perin sanonut vastauksen olevan 1/3. Mutta esitetty kysymys on epäselvä; se riippuu siitä, kuinka opit, että ainakin yksi lapsi oli poika.
Jos se johtui siitä, että kysyit ”Onko ainakin yksi a poika? ”, sitten 1/3 on oikea. Mutta jos se oli vain satunnainen tosiasia, jonka opit, mikä tarkoittaa, että olisit voinut oppia myös ”ainakin yksi on tyttö”, vastaus on 1/2.
Ja itse asiassa Kahden lapsen ongelma on vain muunnelma Kolme vankia koskevasta ongelmasta, jossa on neljä vankia kolmen sijaan, tai Monty Hallin ongelma, jossa on neljä ovea. Gardner poseerasi kolme vankia selvittääkseen, miten nämä ongelmat toimivat, ja sisällytti osan kolikon läppästä nimenomaisesti osoittamaan, miten vastaus määräytyy prosessin avulla, jolla hankit tiedot, ei pelkästään tiedot.
Vastaus
Kolme vankia koskevaa ongelmaa voidaan ymmärtää helpommin, jos pidämme kiinni ehdollisista todennäköisyyksistä eikä taka-todennäköisyyksistä.
Joten kolme vankia A, B, C ovat kuolemanrangaistuksessa ja yksi heistä on armahdettu sattumapelin perusteella. Vanki A pyytää vartijaa ainakin ilmoittamaan toisen vangin nimen, jota ei ole armahdettu.
Esittämällä tämän kysymyksen A on luonut kaksi ryhmää.
- Ryhmä I – A: n osallistuminen yksin.
- Ryhmä II – B: n ja C: n osallistuminen.
Näitä kahta ryhmää vastaavasti on kaksi tapahtumaa:
- Joku ryhmästä I on armahtanut. (A yksin).
- Joku ryhmästä II on armahtanut (B tai C).
Koska molemmat nämä tapahtumat ovat yhtä todennäköisiä, molempien tapahtumien todennäköisyydet ovat \ frac {1} {2}. Toisessa ryhmässä joko B: n tai C: n valinnan todennäköisyydet ovat jälleen \ frac {1} {2}.
Valvoja nimittää B: n nyt vangiksi, jota ei ole armahdettu.
Koska vartija ei ole sanonut mitään vanki C: stä, tämä tarkoittaa, että toisen tapahtuman todennäköisyys (joku on armahdettu ryhmästä, johon osallistuvat B ja C) on edelleen sama – \ frac {1} {2}.
Mutta koska B on eliminoitu, tämä tarkoittaa, että todennäköisyys C: n armahdukselle ryhmästä II on nyt kasvanut \ frac {1} {2}: sta 1: een !!! Tämä on hänen mahdollisuutensa saada armahdus on kaksinkertaistunut !!!
Toisaalta samalla tavoin, koska vartija ei ole sanonut mitään vankista A, ensimmäisen tapahtuman todennäköisyydestä (joku on armottu ensimmäinen ryhmä) on edelleen sama – \ frac {1} {2}.
Joten vanki A: n kysymys ei anna A: lle mitään uutta tietoa hänen kohtalostaan. Toisaalta vanki C (jolle A on antanut nämä tiedot) tietää nyt, että hänen mahdollisuutensa saada armahdus on kaksinkertaistunut.
Tämä on kaikki mitä sinun tarvitsee tietää ymmärtääksesi kolmen vankin olemuksen. Ongelma. Jos haluat kuitenkin vahvistaa intuitiosi Bayesin kaavan avulla. Voit tehdä sen alla esitetyllä tavalla:
Bayesin kolmen vankien ongelman muotoilu
Olkoon A, B ja C tapahtumia, jotka vastaavat vankien A, B ja C vapauttamista.Ja olkoon b tapahtuma, jonka valvoja kertoo A: lle, että vanki B on teloitettava, ja sitten Bayesin lauseen perusteella A: n takaisintodennäköisyys on:
P (A | b) = \ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ kertaa \ tfrac13 + 1 \ kertaa \ tfrac13} = \ tfrac13
C: n todennäköisyys armahtaminen puolestaan on:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ kertaa \ tfrac13} {\ tfrac12 \ kertaa \ tfrac13 + 0 \ kertaa \ tfrac13 + 1 \ kertaa \ tfrac13} = \ tfrac23
Täten A: n anteeksiannon takana oleva todennäköisyys pysyy samana kuin apriorin todennäköisyys (\ frac {1} {3}), kun taas C: n armahduksen todennäköisyys kaksinkertaistuu.
Ehdollisten todennäköisyyksien vaikutus taka-todennäköisyyksiin näkyy termeillä P (b | A) (\ frac {1} {2}) ja P (C | b) (1).