Paras vastaus
On kaksi tapaa selvittää, onko matriisi (ja siten matriisin edustama yhtälöjärjestelmä) ) on ainutlaatuinen ratkaisu vai ei.
a. Cramerin menetelmä.
Muunna yhtälöjärjestelmä matriisimuodoksi AX = B, jossa A = yhteisvaikutustoiminnan matriisi, X = muuttujien matriisi ja B = tulosmatriisi.
Nimeä tehokkuusmatriisi D: ksi. Korvaa 3 x 3 -matriisi D-matriisin 1., 2. ja 3. sarake tuloksilla Pylväsmatriisi saadaksesi matriisit Dx, Dy ja Dz.
- Jos D ei ole yhtä suuri kuin 0 ja jos vähintään yksi Dx: stä, Dy: stä ja Dz: stä ei ole yhtä suuri kuin 0, yhtälöjärjestelmä on johdonmukainen ja sillä on ainutlaatuinen ratkaisu.
- Jos D = 0 ja jos Dx, Dy ja Dz = 0, mutta jos vähintään yksi tehokasta matriisia sisältävistä aineista (aij) tai vähintään yksi 2 x 2 alaikäisestä ei ole yhtä suuri kuin 0, yhtälöjärjestelmä on johdonmukainen ja sillä on äärettömän monta ratkaisua.
- Jos D = 0 ja vähintään yksi Dx: stä, Dy: stä ja Dz: stä ei ole nolla, yhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen (Ei ratkaisua).
Yhtälöjärjestelmä antaa siis ainutlaatuisen ratkaisun vain, kun arvo Determinantin arvo ei ole nolla.
b. Sijoitusmenetelmä
Kirjoita yhtälöjärjestelmä matriisimuodossa AX = B, jossa A = Yhteistehokkuusmatriisi, X = Muuttujamatriisi ja B = Tulosmatriisi.
Selvitä matriisin A sijoitus.
Kirjoita ylös laskettu matriisi [A, B]
Selvitä lisätyn matriisin [A, B] sijoitus
- 1. Jos matriisin A sijoitus ei ole sama kuin lisätyn matriisin sijoitus, yhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen eikä sillä ole ratkaisua.
- Jos molempien matriisien sijoitus on yhtä suuri ja yhtä suuri kuin tuntemattomia muuttujia järjestelmässä ja jos matriisi A on ei-yksikkö, niin yhtälöjärjestelmä on johdonmukainen ja sillä on ainutlaatuinen ratkaisu.
- Jos molempien matriisien sijoitus on sama, mutta jos sijoitus on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärän, yhtälöjärjestelmä on johdonmukainen ja siinä on loputtomasti ratkaisuja. Joten on olemassa vain kolme mahdollisuutta – ristiriitainen ja ratkaisuton, yhdenmukainen ainutlaatuisen ratkaisun kanssa, johdonmukainen äärettömän monien ratkaisujen kanssa.
Joten järjestelmä tuottaa Ainutlaatuinen ratkaisu vain, kun Co-tehokkuusmatriisin sijoitus = Lisätyn matriisin sijoitus = tuntemattomien määrä.
Vastaus
Teoria kertoo, että Ax = b on ainutlaatuinen ratkaisu, jos \ det (A) \ neq0 ja muuten sillä ei ole ratkaisua tai äärettömän monta. Matriisia kutsutaan tällöin singulaariseksi .
Harjoittelu kuitenkin kertoo sinulle, että tätä ei koskaan tapahdu. Joten jokainen yhtälöjoukko voidaan ratkaista? Kyllä ja ei. Jos matriisi on lähes yksikkö, saatat saada ratkaisun, mutta sillä ei ole merkitystä. Syynä on, että pienet vaihtelut oikealla puolella voivat aiheuttaa valtavia vaihteluja (useita suuruusluokkia) ratkaisussa. Tällöin järjestelmää kutsutaan huonoksi . Tämä on huono asia, koska laskelmien aikana saatat menettää merkittäviä numeroita lähes yhtä suurien määrien vähentämisen vuoksi.
Kuinka voit kertoa? Ehdon ehdon numero \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | on teoreettinen mitta. Paras arvo on 1, mitä suurempi, sitä huonompi. Mutta se ei ole niin helppo laskea. Käytännön tapa edetä siinä on ottaa pieni satunnainen häiriö oikealta puolelta ja verrata kahta ratkaisua. Jos ne eroavat toisistaan merkittävästi, sinulla on huonosti ehdollinen järjestelmä.