Paras vastaus
Kuinka todistat, että identiteetti riippuu suuresti siitä, miten ajattele siniä ja kosinia.
Jos ajattelet sinin ja kosinin suorakulmion sivujen suhteina (kuten lukiossa, jossa he opettavat siniä päinvastoin kuin hypotenuusa), saat suorakulmion sivuilla a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (jälkimmäinen Pythagorean kolmiolla) ja \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Jos ajattelet sinin ja kosinin yksikön ympyrän pisteen koordinaateiksi (parametrisoituna ympyrän kaaren pituudella), niin yksikön ympyrän määritelmän mukaan jokainen piste täyttää x ^ 2 + y ^ 2 = 1, joten piste (\ sin \ theta, \ cos \ theta) tekee niin, joten \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
Sinus ja kosini voidaan määritellä myös riippumattomat ratkaisut differentiaaliyhtälöön f = -f, jossa \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Koska yhtälössä on vain kaksi riippumatonta ratkaisua , ja on helppo nähdä, että f ^ {(n)} on ratkaisu, täytyy olla, että \ sin x, \ sin x, \ sin x eivät voi olla itsenäisiä ratkaisuja. Itse asiassa \ sin x = – \ sin x, joten \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, niin \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . Tästä voimme implisiittisesti erottaa \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x saadaksesi 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Joten \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x: n arvo on vakio, ja arvona 0 saadaan \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, joten \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
Sinus ja kosini voidaan määrittää myös tehosarjalla \ sin x = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. Noiden tehosarjojen huolellinen laajennus lausekkeessa \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x näyttää kaikki termit, joihin liittyy x ^ n peruuta, jättäen arvoksi vain vakiotermin 1.
Vastaus
Tämän miettimiseen on otettava huomioon trigonometriset suhteet. Tiedämme, että sinisuhde on yhtä suuri kuin vastakkainen kulma hypotenuusan yli nähden kulmasta tai o / h. Tiedämme myös, että kosini-suhde on yhtä suuri kuin vierekkäinen puoli kulmaan hypotenuusan yli tai a / h. Seuraavaksi näemme, että nämä molemmat suhteet ovat neliöinä, mikä tarkoittaa, että trigonometrinen identiteetti, sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1, vastaa (o / h) ^ 2 + (a / h) ^ 2 = 1, joka on yhtä suuri kuin o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2. Koska meillä on yhteinen nimittäjä, voimme yhdistää nämä kaksi yhtälöä saadaksesi arvon (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2. Sitten voimme tarkastella tätä ja ymmärtää, että määritämme kaikki kolmion sivut. Pythagoraan lauseen mukaan tiedämme, että a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Voimme nähdä, että koska kukin näistä o, a ja h arvoista ovat kaikki kolmion eri sivut, niin että ne ovat yhtä suuria kuin a, b ja c. C: n arvo Pythagoraan lauseessa on suorakulmaisen kolmion hypotenuusi, joten tiedämme, että h = c. Tämä tarkoittaa, että a ja b ovat yhtä suuria kuin o ja a. Ei ole väliä mikä kirjain on osoitettu, sillä tulokset eivät muutu. Voimme sitten nähdä, että Pythagoraan lauseen kautta tiedämme, että a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, mikä johtaa o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2: een. Tämä tarkoittaa, että voimme korvata edellisen yhtälömme osoittajan, jolloin se vastaa (h ^ 2) / (h ^ 2). Lopuksi tiedämme, että mikä tahansa muuttuja, joka on jaettu itsestään, on yhtä suuri kuin 1, joten tämä yhtälö on yhtä suuri kuin 1. Jos palataan takaisin alkuperäiseen yhtälöön, olemme osoittaneet, että sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.