Paras vastaus
Tämän voi todistaa käyttämällä sini-vähennyskaavaa.
ts, sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Tässä a = π ja b = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Siksi todistettu
Vastaa
Todistus 1:
Yksinkertaisin tapa todistaa
cos (π / 2 – x) = sin x
on asetettava trigonometriseen kaavaan A = π / 2, B = x.
cos (AB) = cos A. cos B + syn A. sin B ………………………………. (1)
ja hanki
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
Korvaa cos π / 2 = 0 ja sin π / 2 = 1 kohdassa (2),
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (todistettu)
Todistus 2:
Olkoon ABC suorakulmainen kolmio B: ssä. Olkoon AB hypotenuusin pohja ja AC. Jos merkitsemme kulmaa C x: llä, peruskulma A = (π / 2 – x) niin, että A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π tai 180 °.
Nyt peruskulmasta A BC on kohtisuorassa.
∴ cos A = cos (π / 2 – x) = pohja / hypotenuusa = AB / AC ………… .. (3 )
Kulman C kohdalla AB on kohtisuora ja siksi
sin C = sin x = kohtisuora / hypotenuus = AB / AC ……………. (4)
Yhtälöidään (3) ja (4),
cos (π / 2 – x) = sin x (todistettu)
Todistus 3:
Käytä Eulerin kaavaa
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
joka määrittelee symbolin eⁱᶿ mille tahansa todelliselle arvolle θ. Täällä i = √-1.
∴ Voimme lisätä kaavaan θ = (π / 2 – x) ja kirjoittaa
e ^ i (π / 2 – x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Tai e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Nyt e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i ja e ^ (- ix) = cos x – i sinx
∴i. (Cos x – i sin x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Tai, i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Koska i² = -1]
Todellisten ja kuvitteellisten osien yhtälö,
cos (π / 2 – x) = sin x (todistettu)
ja cos x = sin (π / 2 – x)
Loppuhuomautukset:
Kolmesta tässä esitetystä menetelmästä, joilla todistetaan annettu väite, ensisijaisen menetelmän tulisi olla todiste 1. Tämä johtuu siitä, että se on yksinkertainen, suora ja nopea. Keskimääräinen opiskelija voi tehdä sen henkisesti noin 30 sekunnissa. Todisteessa 2 on hämmennystä siitä, mikä on pohja, mikä on oikea kohtisuora. Lisäksi on käytettävä ylimääräistä aikaa kolmion piirtämiseen, sivujen, kulmien jne. Merkitsemiseen. Todiste 3 on hieno; mutta monet eivät ole mukavia tai hyviä työskentelemään monimutkaisissa toiminnoissa. Menetelmä sisältää enemmän algebraa kuin muut menetelmät; mutta se antaa bonuksen, nimittäin: se todistaa kaavan cos x = sin (π / 2 – x).