Kuinka ymmärtää ∫udv = uv-∫vdu? Tulkitsenko sitä kuin käänteinen tuotesääntö


Paras vastaus

Aloitetaan tuotesäännöstä.

Esimerkki: f (x) = sin (x) cos (x) dy / dx = (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

Kuinka pääsin sinne? Tuotesääntö on: Kun y = uv, uv on kaksi erilaista funktiota kerrottuna yhdessä – tässä tapauksessa sini ja kosini dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx)

Joten edellisessä esimerkissä dy / dx = sin (x) * (d cos (x) / dx) + cos (x) * (d sin (x) / dx) = sinx * -sin (x) + cos (x) * cos (x) = – (sin (x)) ^ 2 + (cos (x)) ^ 2 tai (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

Käänteinen tuotesääntö on vain päinvastoin, kuten integraatio on päinvastainen / vastakkainen erilaistumiseen.

Joten alkaen dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx) Integroiko kaikki! ∫ (dy / dx) dx = ∫u * (dv / dx) dx + ∫v * (du / dx) dx

Y: n erottamisesta tulee dy / dx, joten integrointi palaa takaisin y: hen. Siksi y = ∫u dv + ∫v du

Koska tiedämme, että y = uv (katso yllä) uv = ∫u dv + ∫v du

Sitten järjestämme vain yhtälö sinänsä:

∫u dv = uv – ∫v du Done.

En myöskään ymmärrä sitä täysin, mutta tämä on mahdollisimman hyvä selittää miten johda se.

Vastaus

Tässä on yksi tapa ajatella sitä: ∫udv integroituu v-akselille. Se laskee u-käyrän alla olevan alueen kohti v: tä.

∫vdu integroituu u-akselille. Se laskee v-käyrän vasemmalla puolella olevan alueen kohti u: ta.

Laita nämä kaksi yhteen ja saat neliön: koko u- ja v-akselin välinen alue. Kokonaispinta-ala on näiden kahden tulo: uv. Yhteenvetona saat:

∫v du + ∫u dv = uv

Sieltä voit helposti johtaa kaavan. Se on myös helppo visualisoida.

Lähde: Sigma MathNet

Tämä on liian yksinkertaistettu idea, joka on yleisempi kuin tämä, mutta tämä on yleinen selitys (ja joskus sitä pidetään epävirallisena todisteena). Jos haluat hieman enemmän keskustelua, katso Selitä tämä todiste ilman integrointisanoja osittain minulle .

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *