Paras vastaus
Voimme edustaa mitä tahansa positiivista kokonaislukua n kymmenen perusmerkinnässä muodossa n = a\_k10 ^ k + a\_ {k-1} 10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_0, missä a\_i \ sisään \ {0, 1, 2, \ ldots, 9 \} ja a\_k \ neq 0. Sitten n \ geq 10 ^ k. Numeroiden summa on a\_k + a\_ {k-1} + \ ldots + a\_0 \ leq 9 (k + 1). Tämä eriarvoisuus seuraa a\_i \ leq 9: stä. Nyt on helppo nähdä, että jos k \ geq 2, niin 18 (k + 1) 0 ^ k. Nyt meille jäävät elementit n = 10a\_1 + a\_0. Nämä voidaan helposti tarkistaa tietokoneella. Näin tein sen Pythonilla
[n for n in range(1, 100) if n == 2*sum(map(int, str(n)))]
>>> [18]
Siten ainoa positiivinen kokonaisluku, joka on kaksinkertainen sen numeroiden summa on 18. Jos sallimme ei-negatiiviset kokonaisluvut, niin meillä on myös 0. En ole aivan varma, miten tätä kysymystä tulisi tulkita negatiivisille kokonaisluvuille.
Vastaus
Luku N on 100 ensimmäisen positiivisen kokonaislukun tulo. Jos kaikki N: n numerot kirjoitettaisiin, mikä numero olisi kaikkien nollien vieressä lopussa?
Etsimme periaatteessa 100! ja sitten haluamme hylätä kaikki nollat lopulta, sitten haluamme tietää, mikä on ensimmäinen nollasta poikkeava numero oikeassa reunassa.
Yksi tapa on tosiasiallisesti laskea 100! käyttämällä ohjelmaa, kuten bc (penkkilaskin Linuxissa tai Unixissa) ja poista sitten kaikki nollat saadaksesi tarvittavan numeron.
Katsotaanpa toista tapaa ratkaista ongelma jakamalla ja valloittamalla -periaatteen avulla.
Hylätään kaikki numerot, jotka päättyvät numeroon 1 i. e. 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, koska kerrotessasi edellisen kerrannaisen viimeinen numero (tuote saapui siihen pisteeseen asti) ei muutu eikä meitä kiinnosta lasketaan 100! ei nollaa joka tapauksessa.
Katsotaanpa ensimmäiset 9 numeroa alkaen 2 ja ne ovat:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Vasemmalta oikealle 2 * 3 antaa sinulle 6, 6 * 4 antaa sinulle 24, pidä vain 4 ja kerro se 5: llä saadaksesi 20 (koska haluamme hylätä nollan), pidä nyt 2 ja kerro se 6: lla, niin saat 12, pidä taas vain 2 ja kerro se 7: llä, niin saat 4 (14: stä) ja kerro se 8: lla, niin saat 2 (hylkäät 3 32: sta) ja kerro se 9: llä, niin saat 8 ( hylkäämällä yksi 18: sta) ja kertomalla se 10: llä saat 8 (hylkäämällä 0 tai 80). Siten saat yhden numeron, joka on 8 .
Toimi samalla tavalla 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 antaa sinulle 8 uudelleen.
Seuraava sarja 22, 23…, 28, 29, 30 antaa sinulle 2.
Seuraava sarja antaa sinulle 4
Jatkamalla samalla tavalla jäljellä olevaa sarjaa, saat 4 , 6 , 8 , 8 , 6 , 4 ja 2 .
Nyt lopullinen Tehtävä on kertoa numerot kuten edellä, jotka olemme saaneet kullekin sarjalle.
8, 8, 2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2 ja kun kerrot nämä numeroa ja hylkää kymmenes numero matkan varrella, saavutamme 4 viimeisenä numerona.
Tämä on th Viimeinen vastaus kysymykseen 4 on vaadittava numero.