Paras vastaus
x ^ 3 = -8
x ^ 3 + 8 = 0
(x + 2) (x ^ 2-2x + 4) = 0
Kun x + 2 = 0, meillä on x = -2
x ^ 2-2x + 4 = 0, meidän on ratkaistava se toissijaisella kaavalla:
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 – 4 \ cdot 1 \ cdot 4}} {2 \ cdot 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {4 – 16}} {2}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {-12}} {2}
x = \ frac {2 ± 2 \ sqrt {-3}} {2}
x = 1 ± \ sqrt {- 3}
Saamme ratkaisun x = 1 + i \ sqrt {3} ja x = 1 – i \ sqrt {3}
Jos puhumme reaaliluvuista, -8: lla on yksi kuutiojuuri: -2
Jos puhumme kompleksiluvuista, -8: lla on kolme kuutiojuuria: -2, 1 + i \ sqrt {3} ja 1 – i \ sqrt { 3}
Vastaa
Et ilmoita, haluatko vastauksen todellisessa vai monimutkaisessa yhteydessä. On yksi todellinen juuri ja pari monimutkaisia konjugaattijuureja. Ilmoitat ”kuutiojuuri” yksikkömuodossa. Siksi näyttää luonnolliselta tarkastella todellisen kontekstin tapausta yhdellä todellisella juurella ja erikseen pääjuuren tapausta monimutkaisessa yhteydessä.
Todellisessa kontekstissa −8: n kuutiojuuri on −2.
Monimutkaisessa kontekstissa −8: n pääkuutiojuuri on 1 + i \ sqrt {3}. Tämä saattaa tuntua oudolta, että todellisessa yhteydessä valittua juurta ei valita myös monimutkaisessa kontekstissa, vaikka todellinen juuri olisi käytettävissä. Kuitenkin pääjuuri monimutkaisessa yhteydessä on se, joka on lähinnä positiivisella todellisella akselilla olemista, ja jos kaksi sidotaan lähinnä olemiseen, ota se, jolla on positiivinen kuvitteellinen osa. Kuutiojuuri ei ole jatkuva funktio kompleksitasossa – negatiivisen todellisen akselin varrella on haara.