Paras vastaus
Koska tätä kysytään ohjelmistotekniikan alalta, voimme ehkä keskustella edustuksesta.
Kahdeksan tietobitit (missä bitti on kytkin, joka edustaa arvoa 1 tai 0), voivat pitää merkitsemättömän kokonaisluvun seuraavasti:
0 = 00000000
1 = 00000001
2 = 00000010
4 = 00000100
8 = 00001000
16 = 00010000
256 = 10000000
iv 511 = 11111111
Joten 8 bittiimme tietoihin mahtuu allekirjoittamaton kokonaisluku niin suuri kuin 255 ja niinkin pieni kuin 0. Tosielämän sovellukset voivat kuitenkin vaatia sekä negatiivisia että positiivisia lukuja.
Allekirjoitettujen kokonaislukujen sijoittamiseksi meidän on luovuttava osasta tallennustilaa. Tätä voidaan tehdä usealla mallilla.
Yksinkertaisin tapa olisi käyttää ensimmäistä bittiä merkin edustamiseksi (sanoa nolla on positiivinen ja 1 negatiivinen). Tällä on hauska seuraus siitä, että nolla-arvo on positiivinen ja negatiivinen.
+ 0 = 00000000
- 0 = 10000000
1 = 00000001
- 1 = 10000001
+ 2 = 00000010
- 2 = 10000010
+ 64 = 01000000
- 64 = 11000000
+127 = 01111111
Tämän avulla voimme tallentaa numeroita -127 – +127, joka on 255 numeroa (0 mukaan lukien).
Toinen tapa tehdä tämä on käyttää sitä, mitä kutsutaan ones -plement varastointi. Tätä varten negatiivinen luku on päinvastainen bittisekvenssi positiiviseen lukuun.
Esimerkiksi:
0 = 00000000
0 = 11111111
2 = 00000010
- 2 = 11111101
Aritmeettinen negatiivisilla luvuilla antaa meille mahdollisuuden lisätä nämä kaksi lukua. Esimerkiksi 2 + -2 tulee
+ 2 = 00000010
-2 = 11111101
--------------
= 11111111
jonka näimme aiemmin olevan nolla. Joten alue, jonka voimme tallentaa tähän esitykseen 8 bitillä, ovat kokonaisluvut välillä -127 ja +127 tai 255 numeroa (koska sisällytämme nollan yhtenä lukuna).
Koska nollan negatiivi on nolla , on edelleen kaksi nollan esitystä. Se on vähän tuhlaavaa, joten kiertämiseen käytetään twos-täydennystä . Se ottaa yhden-komplementin negatiivisen luvun ja lisää yhden. Tässä esityksessä
0 = 00000000
2 = 00000010
- 2 = 11111110
- 1 = 11111111
1 = 00000001
-128 = 10000000
127 = 01111111
-127 = 10000001
Joten alue, jonka voimme tallentaa tähän esitykseen 8 bitillä, ovat kokonaisluvut välillä -128 ja +127 tai yhteensä 256 numeroa. Tämän järjestelmän avulla voimme käyttää kaikkia yhdistelmiä tehokkaammin, mikä voi olla erittäin tärkeää, jos haluamme hyödyntää resursseja, jotka edustavat sellaisia perustekijöitä kuin allekirjoitetut kokonaisluvut.
On myös muita, jotka on muodostettu allekirjoitetuista. kokonaislukuesitykset, jotka näkyvät osoitteessa Allekirjoitetut numeroesitykset – Wikipedia .
Vastaa
Ensin ei ratkaisua luku on nolla.
Jos molemmat ovat nollia, molemmat puolet ovat määrittelemättömiä. (Voit kutsua sitä ratkaisuksi, jos haluat – en.)
Jos toinen on nolla ja toinen on positiivinen, toinen puoli on nolla ja toinen on yksi.
Jos toinen on nolla ja toinen negatiivinen, toinen puoli on yksi ja toinen määrittelemätön.
Nyt kun otetaan huomioon vain positiiviset kokonaisluvut, on selvää, että a = b toimii.
Muille ratkaisuille ota luonnollinen loki molemmilta puolilta (ei ongelmaa, koska molemmat puolet ovat positiivisia), ja saamme
b ln (a) == a ln (b)
Jaa molemmat puolet a: lla ja ln (a: lla (ei ongelmaa, harkitsemme vain positiivisia kokonaislukuja tällä hetkellä), saamme
(b / a) == ln (b) / ln ( a) == ln (a * (b / a)) / ln (a) == [ln (a) + ln (b / a)] / ln (a) == 1 + ln (b / a) / ln (a)
Järjestä uudelleen
(b / a) -1 == ln (b / a) / ln (a)
Kerro molemmat puolet ln (a): lla ja jakamalla molemmat puolet (b / a) -1: llä saadaksesi
ln (a) == ln (b / a) [(b / a) -1]
Huomaa, että tämä on jako nollalla, jos a = b, mutta harkitsimme jo tapausta. Joten tämä pätee vain a> 0, b> 0 ja a b. Anna nyt nimi b / aa, kutsu sitä x = b / a.
Joten meillä on
ln (a) == ln (x) / (x-1)
Huomaa, että vasen puoli on aina positiivinen, ellei a == 1, jolloin tarvitsemme x == 1 (oikea puoli voidaan määritellä jatkuvuudella kattamaan x = 1, ja on tässä kohdassa yhtä kuin 1). Mutta jos x == 1, niin a = b, joten tämän yhtälön johdanto oli virheellinen, ja pidimme jo a = b joka tapauksessa.
Joten vasen puoli on positiivinen a> 1: lle, mutta se on ok, koska oikea puoli on aina positiivinen positiiviselle x: lle.Mutta voimme ajatella tapauksia ln (a) 1, erikseen. (ln (a) = 1 ei esiinny a: n kokonaislukuarvoille.)
Ln (a) : llä on
ln (x) / (x-1 ) .
Jos x> 1, niin osoittaja ja nimittäjä ovat positiivisia, joten
ln (x) -1, mikä on aina tapana. Mutta jos x , niin osoittaja ja nimittäjä ovat negatiivisia, joten
ln (x)> x-1
Näin ei ole koskaan logaritmifunktiossa. Joten jos ln (a) 1. (Ei tarvitse ottaa huomioon x = 1, koska olemme jo käsitelleet a = b.)
Entä jos ln (a)> 1? Tällöin
ln (x) / (x-1)> 1
Jos x> 1, niin osoittaja ja nimittäjä ovat positiivisia, joten
ln ( x)> x-1
Näin ei ole koskaan. Jos x , niin osoittaja ja nimittäjä ovat negatiivisia, joten
ln (x) -1
Näin on aina. Joten jos ln (a)> 1, tarvitsemme x .
Joten positiivisten kokonaislukujen kanssa, joissa on b, on otettava huomioon kaksi tapausta. Yksi on
ln (a) 1
ja toinen on
ln (a)> 1 ja x
Ajatelkaamme siis tätä. On vain yksi a> 1 (olemme jo pitäneet a = 1) sellaisina, että ln (a) , ja se on a = 2. Sitten vastaavan x: n antaa
ln (2) == ln (x) / (x-1)
Koulutettu arvaus (ja joillakin muilla vastauksilla on jo tämä liuos) on x = 2. Mutta x = b / a ja a = 2, joten jos x = 2, niin a = 4. Huomaa, että muulle x: n arvolle ei voi olla ratkaisua, koska ln (x) / (x-1) on tarkasti laskeva funktio x> 0: lle.
Toinen tapaus on ln (a) > 1, mutta tässä tapauksessa meillä on x . Tämä tarkoittaa b / a tai b
Joten jos on positiivinen kokonaislukuratkaisu, joko kaksi arvoa a ja b ovat samat tai toinen niistä on 2 ja toinen on 4.
Ei ole ratkaisuja, joihin liittyy a = 0 tai b = 0, ellet halua kutsua a = b = 0 ratkaisuksi sillä perusteella, että määrittelemätön on yhtä suuri kuin määrittelemätön, mutta En halua, että matematiikkalisenssini otetaan pois.
Voisimmeko saada negatiivisia ratkaisuja. Oletetaan, että a 0 (tiedämme, että meillä ei voi olla b = 0), niin a ^ b on kokonaisluku, mutta b ^ a on vain kokonaisluku, jos a = -1. Mutta silloin a ^ b on -1, jos b on pariton, ja +1, jos b on parillinen. b ^ a on positiivinen, joten meillä ei voi olla a = -1 ja pariton b. Mutta jos b on parillinen, niin a ^ b on 1 ja b ^ a ei ole yhtä kuin yksi. Joten meillä ei voi olla 0. Samasta syystä meillä ei voi olla> 0 ja b .
Voimmeko olla ja b ? Siinä tapauksessa a ^ b on positiivinen, jos b on parillinen, ja negatiivinen, jos b on pariton. Samoin b ^ a on positiivinen, jos a on parillinen, ja negatiivinen, jos a on pariton. Joten jotta nämä kaksi olisivat tasa-arvoisia, tarvitsemme molemmat a ja b parittomiksi tai molemmat a ja b parillisiksi.
Oletetaan, että ne ovat parittomia. Aloitetaan sitten sanalla
a ^ b == b ^ a
Kerrotaan molemmat puolet negatiivisella ja järjestetään hieman uudelleen, jolloin
(-a) ^ b == (-b) ^ a
Ottaen molempien osapuolten vastavuoroiset arvot, meillä on
(-a) ^ (- b) == (-b) ^ (- a)
Mutta jos a ja b 0 ja -b> 0, ja olemme jo määrittäneet, että ainoat positiiviset ratkaisut -a: lle ja -b: lle molemmilla parittomilla ovat kun -a = -b tai a = b. Joten jos a ja b ovat kumpikin sama negatiivinen pariton kokonaisluku, yhtälö pätee. Jos jompikumpi on negatiivinen pariton kokonaisluku, mutta a b, se ei ole ratkaisu.
Entä jos a ja b ovat negatiivisia parillisia kokonaislukuja? Sitten saadaan
(-a) ^ b == (-b) ^ a
kertomatta molemmat puolet -1: llä. Ottaen molempien osapuolten vastavuoroisuudet meillä on
(-a) ^ (- b) == (-b) ^ (- a)
Tiedämme jo ratkaisut, joissa -a > 0 ja -b> 0 ja molemmat ovat jopa positiivisia kokonaislukuja; joko -a = -b tai -a = 2 ja -b = 4 tai -a = 4 ja -b = 2.
Tämä kattaa kaikki tapaukset. Joten täydellinen luettelo kokonaislukuratkaisuista on
a ja b ovat sama positiivinen tai negatiivinen kokonaisluku (mutta ei nolla)
a = 2 ja b = 4
a = 4 ja b = 2
a = -2 ja b = -4
a = -4 ja b = -2