Paras vastaus
On houkuttelevaa kirjoittaa
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Sitten voimme kirjoittaa
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
Tästä saadaan summa:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
En pidä tästä kaikesta niin paljon parille syyt. Ensinnäkin se jättää huomiotta kysymyksen siitä, kuinka monta arvoa \ sqrt {i} on.
Olemme määrittäneet reaalilukuun sovellettavan radikaalin pääarvona, joten y = \ sqrt {x} on funktio . Monimutkaisen neliöjuuren pääarvo on monimutkaisempi (sääntö, joka on vähintään ei-negatiivinen kulma) eikä toimi niin hyvin.
Mielestäni paras käytäntö on sanoa, että meillä on kaksi neliöjuuria . \ sqrt {i} on moniarvoinen, sama kuin i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Toinen eksponentiaalisen muotoilun ongelmani on välitön hyppy napakoordinaatteihin. Kuljemme automaattisesti mutkikkaalla reitillä, johon liittyy transsendenttisia toimintoja ja niiden käänteisiä. Kompleksiluvun neliöjuuri ei vaadi sitä. Voimme tarkistaa
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
mihin tarvitsemme standardista poikkeavan \ textrm {sgn} (0) = + 1.
Meillä on a = 0, b = 1, joten
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Trig-toimintoja ei tarvita. Vastaavasti a = 0, b = -1 antaa
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
Summassa näyttää olevan neljä mahdolliset arvot:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
Selvitetään sulkeiden arvot.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
joten meillä on todellakin neljä arvoa, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
Voimme kirjoittaa tämän nimellä
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad kokonaisluvulle k
Yksi toinen asia on otettava huomioon. Joskus kun kirjoitamme lausekkeita, jotka näyttävät olevan konjugaatteja, tarkoittaa, että kun otetaan huomioon useita arvoja, konjugaattisuhde säilyy. Yksi esimerkki on painettu kuutio:
x ^ 3 + 3px = 2q sisältää ratkaisuja
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Jokaisella kuutiojuurella on kolme arvoa kompleksilukuihin nähden. Mutta itse kuutiolla on vain kolme ratkaisua. Joten vaikka meillä saattaa olla houkutus tulkita tämä ilmaisu yhdeksäksi eri arvoksi, tiedämme sen olevan vain kolme. Kahden kuutiojuuren on tarkoitus olla konjugaatteja, joten ne on yhdistettävä sellaisenaan.
Tässä tulkinnassa lisäämme aina konjugaatteja, jotta saisimme juuri todelliset ratkaisut:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} tai (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } joka on \ pm \ sqrt {2}.
Lopuksi, jos tulkitsemme radikaalin pääarvona, saamme \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} ensimmäinen kvadrantti, ja meidän on valittava toisen ja neljännen kvadrantin välillä \ sqrt {-i}: n pääarvo. Pienimmän positiivisen kulman sääntö ehdottaa toista kvadranttia \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2} joten
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Häiriö, kaikki nämä erilaiset tulkinnat.
Vastaa
\ text {anna:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {ja} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} = – \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega on yksikön kolmas juuri: z ^ 3 = 1.
Tämän yhtälön juuret ovat: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ yliviiva {\ omega}
Meillä on: u ^ 3 = 2 + 2i ja (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
Joten:
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ iff \ vasen (\ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} \ oikea) ^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1 , 2}
\\\ iff u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {jossa} \; k \ muodossa {0,1,2}
Joten:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ yliviiva {u} = 2 \ Re (u)
Saamme:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ text {tai} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ teksti {tai} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3