Paras vastaus
Selittää esimerkin avulla. Kuvassa on ristikko ladattu ja tuettu kuvan osoittamalla tavalla. Meidän kiinnostuksemme on selvittää reaktiot ja voimat kaikissa ristikon jäsenissä. Reaktiot ja voimat jäsenissä riippuvat paitsi käytettyjen voimien suuruudesta ja suunnasta, myös niiden sijainnista eli käyttökohdista. Avaruuskaavio huolehtii voimien käyttökohdasta ja ristikon geometriasta.
Yllä oleva kuva on vain reaktioiden saamiseksi. Käytetty voima P\_1 on ab ja voima P\_2 on bc vektorikaaviossa. Reaktio R\_1 on yhtä suuri kuin da ja reaktio R\_2 on yhtä suuri kuin cd vektorikaaviossa.
Voimme edetä edelleen avaruuskaavion ja vektorikaavion avulla voidaksemme laskea kaikki jäsenet. Ei tehty täällä vain pitämään hahmoa hyvin ymmärrettävänä.
Tasapainotila täyttyy, kun vektorikaavio ja köysirungon polygoni sulkeutuvat.
Vastaa
Se ei ole täysin selvää mitä ”paikat” tarkoittaa tässä, mutta mielestäni vastaus voi olla, että vektoreilla ei ole sijainteja, mutta vektoreilla voi olla paikkoja, ja nämä kaksi ideaa kattavat sovellukset.
I m olettaen tässä, että kysymyksessä oleva ”paikallisuuden” puute viittaa siihen, että samanpituiset ja samansuuntaiset ”nuolet” edustavat samaa vektoria. Tämän käytännön käyttöönotolle on useita syitä.
- Yksi vektorin peruskäytön taustalla olevista perusajatuksista on siirtymisen käsite , joka on myös nopeuden, kiihtyvyyden ja (F = ma: n kautta) voiman lähde. Siirtymillä ei ole sijaintia, vaan jokaisessa asennossa on tietyn suunnan ja suuruuden mahdollinen siirtymä. Jos sanomme ”pää kymmenen mailia luoteeseen”, se on syrjäytysohje, joka pätee kaikkialle eikä vain tiettyyn paikkaan.
- Siirtymiä voidaan yhdistää, mutta vain jos toinen siirtymä alkaa siitä, mistä ensimmäinen päättyy. . Jos siirtymät on esitetty nuolilla, niin yhdistetyn siirtymän saamiseksi yksi nuolista on käännettävä, jotta saadaan yhdistetty siirtymä hännän päähän. Tällä ei tietenkään olisi järkeä, jos käännetty nuoli ei edelleenkään edusta samaa siirtymää.
- Kokemus voimien käyttäytymisestä edellyttää kykyä kääntää voimanuolia ympäriinsä, koska voimien suhteen esineet käyttäytyvät ikään kuin kaikki niiden massa olisi keskittynyt painopisteeseensä ja kaikki voimat vaikuttavat siihen pisteeseen. (Olen ollut varovainen kursivoidun kieleni kanssa täällä, koska jotain erilaista tapahtuu, kun vääntömomentit otetaan käyttöön!)
Kaikki nämä tilanteet kattava matemaattinen abstraktio on vektoriavaruus. Jos tarvitsemme nuolia, jotka voivat sijaita missä tahansa, asetamme vastaavuussuhteen nuolien joukolle, jolloin kaksi nuolta ovat samanarvoisia, jos ne ovat yhdensuuntaisia ja samansuuntaisia. (”Samassa suunnassa” on intuitiivista sisältöä, jota on vähän hankala tehdä systemaattiseksi.) vektorista tulee sitten nuolien, ja vektorilisäyksen vastaavuusluokka määritellään ottamalla ”kätevät” luokan edustajat ja lisäämällä ne joko hännän päähän tai rinnakkaislaki-lain kautta.
Vastaavuusluokkien käyttö ja heidän edustajiensa ei pitäisi näyttää lainkaan erikoisilta; se on juuri sitä, mitä teemme murtoluvuilla. ”Murtolukua” voidaan pitää symboleiden a / b (b \ ne 0) vastaavuusluokana ekvivalenssisuhteen a / b \ equiv (na) / (nb) alla. Kun haluamme lisätä kaksi ”murto-osaa”, juurrutetaan vastaavista luokista, kunnes löydämme kaksi edustajaa, joilla on sama nimittäjä, ja lisätään sitten osoittajat. Vektorilisäys on hyvin samanlainen kuin tämä. Lisäksi murtoluvuilla on ”ensisijainen” joukko luokan edustajia, murtoluvut ”pienimmällä tasolla”. Vektorien kohdalla on myös ”ensisijainen” edustajaryhmä, vektorit, joiden hännät ovat alkupäässä, ja näistä pidetään vektoriavaruuden abstrakteja elementtejä, kun nuolen analogia on pelissä.
Nyt on tilanteita, joissa on todella merkitystä, missä nuoli on, nuolen liikuttamisella ei ole mitään järkeä, ja eri pisteissä olevia nuolia ei voida ja ei pidä lisätä. Sääkartta, jossa nuolet edustavat tuulen nopeutta eri paikoissa, on tällainen esimerkki. Aiemmin mainitut vääntömomentit ovat myös esimerkki; voiman sijainnilla painopisteen suhteen on merkitystä, eikä voimanuolta voida kääntää toiseen pisteeseen muuttamatta tuloksena olevaa momenttia. (Huomaa muuten, että vääntömomentit itse ovat vektoreita, kuin voidaan lisätä.) Yleisessä matemaattisessa esimerkissä skalaarikentän gradienttikenttä koostuu nuolista, jotka on kiinnitetty tiettyihin paikkoihin ja joita ei voida mielivaltaisesti kääntää.
Näistä sijainnista riippuvaisista vektoreista on alkuarvio, että tavallinen vektori avaruuslait (summaus ja skalaarinen kertolasku) pitävät edelleen voimassa kaikkia vektoreita yhdessä kiinteässä asennossa . Tämä kertoo meille, että ”ratkaisu” sijaintiriippuvaan ongelmaan on sijoittaa koko vektoritila kussakin kyseisen tilan pisteessä. id = ”94d3faca83”> kutsutaan tyypillisesti tangenttiväliksi , koska pisteen tangenttitilaa voidaan pitää kaikkien nopeusvektoreiden joukona parametrisoituja polkuja varten kyseisen pisteen läpi (olettaen riittävän erilainen kuvaus on järkevä).
Kaikkien tangenttivälien kokoelmaa kutsutaan tangentiksi nippu, ja nyt, jos tarvitset sijainnista riippuvan vektorin kussakin tilasi pisteessä, tarvitset kartan avaruudesta tangenttipakettiin, joka poimii tarkalleen yhden vektorin jokaisesta tangenttitilasta erilliset kohdat; tällaista karttaa kutsutaan nipun osaksi , ja tuloksena olevaa sijainnista riippuvien vektorien kokoelmaa kutsutaan vektorikenttä alkuperäisessä tilassa.
Tällä tavalla saamme syödä kakkumme ja syödä sitä; vektoreilla ei ole ”sijainteja”, mutta vektoreilla on.