Paras vastaus
T\_n (x), ensimmäisenlainen Chebyshevin polynomi, tyydyttää
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
Olemme jäljessä T\_ {10} (x). Muutamat ensimmäiset tunnemme:
T\_0 (x) = 1 \ quad koska \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad koska \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad, koska \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad, koska \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
Voimme laskea kahden tehon helposti,
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2-1) ^ 2 – 1 = 8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8-256 x ^ 6 + 160 x ^ 4 – 32 x ^ 2 + 3
Yleensä T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x)), joka seuraa melko nopeasti kohdasta \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
T\_n (x) tyydyttää toistumisen
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n-1 } (x)
Koska T\_0 (x): llä ja T\_1 (x): llä on kokonaiskertoimet, toistuminen kertoo meille, että kaikilla T\_n (x): llä on kokonaislukukertoimet. . Aloitetaan todistamalla trig-identiteetti, vaihtoehtoinen summa-kulmakaava, joka käyttää vain kosinia:
\ cos (A + B) + \ cos (A – B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B – \ cos (AB)
Nyt,
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta – \ cos (( n-1) \ theta)
tai antamalla x = \ cos \ theta,
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
Nyt voimme laskea T\_ {10} (x) melko helposti,
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x) – T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) – (4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5-20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2 – 1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10} – 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6 – 400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 – 1
Joten saamme vihdoin vastauksemme,
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta – 1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta – 400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta – 1
Vastaa
Anna x = thetan kirjoittamisen helpottamiseksi.
Muista, että kertolasku toistetaan uudelleen d-lisäys.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
Yksi tapa löytää cos (10x) on käyttää identiteetti kahden kulman summan kosinille yhdeksän kertaa, samankaltaisen sinin kanssa.
cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x) – synti (9x) sin ( x)
Korvaa 9x nyt 8x + x: llä.
ja aseta sitten identiteetit varovasti uudelleen menettämättä ongelmassa jo olevia cos (x) ja sin (x).
Sitten kaikkialla, missä näet 8x, korvaa se 7x + x: llä ja käytä identiteettejä uudelleen.
Jatka … ..
Haluat ehkä työskennellä ylöspäin pikemminkin kuin alaspäin.
Etsi cos (3x), sitten cos (4x) jne.
Työskentelyn aikana kysy itseltäsi, onko mahdollista nopeampaa tapaa.
Kun meillä on kaava
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) – sin (x) sin (x)
voit kokeilla ajatella
cos (4x) cos: ksi (2x + 2x)
ja cos (8x ) kuin cos (4x + 4x).
Sitten cos (10x) kuin cos (8x) + cos (2x).
Sinä voit Haluamme myös yksinkertaistaa cos: n (2x) tulosta ja mahdollisesti käyttää Pythagoraan identiteettiä pitämään ongelman vain kosinina ilman, että tuloksessa olisi sinisiä.