Paras vastaus
Tiedän mitä pyydät, mutta opi kirjoittamiskäytännöt. Sen tulisi olla cos (1/2).
Voit vastata kysymykseesi täältä käyttämällä laskinta. En voi mitenkään laskea tätä käsin. Toinen asia on arvo radiaaneina tai asteina. Annan molemmat täällä. Se on asteikossa 0,99996 ja radiaaneina 0,8775.
Vastaa
Melko harvat ihmiset järkyttyvät, kun joku väittää, että 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . En ole yksi niistä ihmisistä, mutta olen mielestäni sitä mieltä, että jos aloitat tällaisen vaatimuksen, sinulla on oltava hyvin selvä mielessäsi, mikä se on mitä tarkoitat.
Kun määrität loputon summa elementtejä a\_n, määrität sen seuraavasti:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Jos raja on olemassa ja sillä on rajallinen arvo, sanotaan, että ääretön summa yhtyy , ja sanomme, että se on sama kuin mainittu raja. Esimerkiksi:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
On kuitenkin paljon loputtomia summia, jotka eroavat toisistaan , emmekä yleensä anna niille arvoa. Esimerkki tästä:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {ei ole olemassa.}
Voidaan myös tarkista, että:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
joka ei ”lähene toisiinsa —, siis sarja 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots on erilainen, joten tavallinen raja-määritelmä ei anna sille arvoa.
On kuitenkin olemassa tapoja voi laajentaa tätä määritelmää. Toisin sanoen voit keksiä tapoja määrittää rajallinen arvo toisistaan poikkeaville sarjoille, jotka ovat edelleen yhtäpitäviä arvojen kanssa, jotka saamme tavanomaisella tavalla yhteneville sarjoille.
Ongelmana on, että koska nämä menetelmät, Luonteensa vuoksi ne eivät todellakaan vastaa mitään fyysistä *, joten parasta, mitä voimme toivoa, on, että tällaisilla menetelmillä on mukavia muodollisia ominaisuuksia. Haluamme erityisesti, että ne täyttävät seuraavat aksioomat:
1.) (Säännöllisyys) Jos \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n on lähentyvä, summausmenetelmä on yhtäpitävä tavanomainen tapa ottaa raja.
2.) (Lineaarisuus) Jos \ summa\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A ja \ summa\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B ovat summatta , niin meillä on \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Jos r on reaaliluku, niin \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3. (Vakaus) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Nämä aksioomat ovat varsin hyödyllisiä. Näytät esimerkiksi, että minkä tahansa näiden kolmen aksiooman tyydyttävän summausmenetelmän on arvioitava 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1, koska:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Huomaa, että sekä lineaarisuudella että vakaudella on tärkeä osa tässä todistuksessa. Vakaus antaa meille mahdollisuuden ”vetää” edessä oleva 1 ja lineaarisuus antaa meille arvon 2.
Tällaisen summausmenetelmän on myös arvioitava 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / 2. Todiste on samanlainen:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
Tulee kuitenkin olemaan erilaista sarjaa, jota ei voida arvioida millään summausmenetelmällä, joka täyttää nämä kolme aksiomia. Oletetaan esimerkiksi, että voisimme määrittää rajallisen arvon s sarjaan 1 + 1 + 1 + \ ldots. Silloin meillä olisi:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Hups. Valitettavasti se pahenee vielä enemmän, koska tästä seuraa, ettei mikään näitä kolmea aksiomia tyydyttävä summausmenetelmä voi arvioida myös 1 + 2 + 3 + \ ldotia, koska:
(1 + 2 + 3 + \ ldots ) – (1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (vakauden mukaan) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (lineaarisuuden mukaan)
Joten, jos haluat määrittää summaustavan, joka arvioi 1 + 2 + 3 + \ ldotia, joudut joko heittämään pois lineaarisuuden tai vakauden. On olemassa erilaisia lähestymistapoja — toiset uhraavat toisen, toiset uhraavat toisen.
Tämä on valitettavasti osoitus siitä, miten erilaisten sarjojen summaus menee: sinulla on monia erilaisia menetelmiä niiden yhteenlaskemiseen, eivätkä ne aina samaa mieltä. He sopivat usein tärkeistä sarjoista, mutta jos väität jotain 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12, sinun on parasta tehdä täysin selväksi, mitä summausmenetelmää satut käyttämään.
Numeroteoreetikkona suosikkini on zeta-funktioiden laillistaminen. Perusesimerkki tästä on tämä: harkitse Riemannin zeta-funktiota \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Tämä kaava on vain yhteneväinen, jos s: n todellinen osa on suurempi kuin 1.On kuitenkin tavanomainen tapa laajentaa Riemannin zeta-funktiota olevan funktio koko monimutkaisella tasolla (no, sinulla on muutama napa, mutta vaikka se on tärkeää, se on tekninen asia) — tätä kutsutaan analyyttiseksi jatko, jonka saat nimenomaisesti etsimällä funktionaalisen yhtälön zeta-funktiolle.
Käyttämällä analyyttistä jatkoa löydät \ zeta (-1) = -1/12. Mutta jos ”liität sen” zeta-funktion alkuperäiseen lausekkeeseen, saat:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
Zeta-funktion laillistaminen toimii näin: liität zeta-funktion sarjaasi , ja käytä sitten analyyttistä jatkoa liittämään sarjaan rajallinen arvo.
Tämä on monin tavoin muodollinen peli, jonka ei mielestäni ole mielenkiintoista vastata jotain konkreettista.
* Kyllä, olen tietoinen siitä, että divergenttiset sarjat ja integraalit tottuvat kvanttikenttäteorian laskelmiin. Väitän kuitenkin, että tällaiset menetelmät ovat laskentatyökalu enemmän kuin fyysinen tulkinta siitä, mitä todella tapahtuu. Lisäksi meillä ei ole tässä vaiheessa matemaattisesti tiukkaa kvanttikenttäteorian mallia, joten kaikki parittomat kimeerit, joita ei pitäisi olla, voidaan vielä tulkita tai poistaa kokonaan.