Paras vastaus
Yksikköympyrän x-koordinaatti on cos (x).
Ota raja kun x lähestyy 90 astetta. Näet, että x-koordinaatti lähestyy 0, koska säde lähestyy kohtisuoraa viivaa (joten ei x-komponenttia)
Ota vasemman käden raja ja se on sama.
Kolmio tietysti hajoaa.
Tässä on kuva apua varten:
Kuten näette, harmaa viiva (cosx) pienenee ja pienenee.
Siinä se. Cos (90) on 0. Tämä on 90 astetta eikä radiaani.
Jos radiaaneina, se on jotain −0.448073616129.
Vastaus
Anna minun antaa lisää -kompleksi vastaus.
Let, \ frac {A} {2} = x.
Joten, A = 2x
Meillä on,
\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)
Otetaan Eulers-kaava,
e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
Jos muistat tämän kaavan, voimme ymmärtää sen,
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), koska vain \ sin on pariton funktio, f (-x) = – f ( x) ja \ cos on tasainen, f (-x) = f (x)
e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
= 2 \ cos (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)
Joten päädymme kaavaan.
Myös \ syn: n puolesta,
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ synti (\ theta)
-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))
= 2i \ sin (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)
Missä i on kuvitteellinen yksikkö . (i ^ 2 = -1)
Antaa nyt yksinkertaisesti sydämen kaavan \ cos (2x), (laajennuksella x x 2x)
\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
Aloitetaan kaavan johtaminen.
Alkaen \ cos ^ 2 (x),
\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}
Laajenee, saamme,
\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}
Nyt {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ kertaa a ^ c = a ^ {b + c},
(Joten, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}
Nyt lasketaan \ sin ^ 2 (x)
\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Jos vähennämme \ sin ^ 2 (\ theta) \ cos ^ 2 (\ theta): sta, saamme,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Peruutamme miinukset \ sin ^ 2 (\ theta),
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}
Yhteenvetona voimme peruuttaa -2 + 2: n 0: een, minkä jälkeen saamme,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
joka on sama kaava \ cos (2x) kuin aiemmin keskustelimme. Siksi todistettu.
Mutta meillä on toinen tehtävä. Laajennus, 2x = A,
\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}
joka on sama kaava cos (A) <: lle / p>
Joten, \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)
Kiitos A2A: sta