Paras vastaus
Del-operaattori on tapa löytää vektorin johdannainen. Saatat olla perehtynyt skalaarifunktioiden derivaatan etsimiseen, joka voidaan esittää jollakin seuraavista muodoista:
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f ”(x)
missä f (x) on x: n funktio, f ”(x) on sen johdannainen ja \ frac {d} {dx} on termi, joka käskee meidät ottamaan johdannainen ensiksi. Voit ajatella \ frac {d} {dx} olevan ”johdannainenoperaattori”, koska se kehottaa sinua ottamaan johdannaisen siitä, minkä vieressä se on.
Haluamme nyt tehdä myös tämän vektoreille, jotka ovat useimmiten suorakulmaisin koordinaatit (x: n, y: n ja z: n funktiot). Miksi? Koska monia fyysisiä ilmiöitä (kuten sähköisiä tai gravitaatiokenttiä) voidaan kuvata vektoreiksi, ja näiden ilmiöiden (ja siten johdannaisten) muutokset ovat tärkeitä.
Kuinka siis otetaan vektorin johdannainen ? Käytämme Del-operaattoria. Koska haluamme käyttää sitä vektorien kanssa, sen on oltava itse vektori. Ja koska haluamme käyttää sitä kaikissa kolmessa suorakulmaisessa koordinaatistossa eikä vain x: ssä, sillä on enemmän kirjaimia. Viime kädessä Del-operaattori näyttää hyvin samankaltaiselta kuin yllä oleva ”johdannaisoperaattorimme”, mutta muutamalla termillä:
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partic} {\ partituali x } + {\ hat y} \ frac {\ partitali {{osittainen y} + {\ hat z} \ frac {\ osallinen} {\ osittainen z}
\ nabla on nimeltämme Del Operator, vaikka symboli on virallisesti nabla; Minulle rehellisesti vain opetettiin, että sitä kutsuttiin ylösalaisin delta! Pelkän johdannaisen lisäksi x: n suhteen otamme nyt myös osittaiset johdannaiset y: n ja z: n suhteen. Kun otamme osittaisen johdannaisen, käsittelemme kaikkia muuttujia paitsi yhden vakioina ja otamme johdannainen valitun muuttujan suhteen.
Koska vektoreita voidaan kertoa kahdella tavalla, saamme luonnollisesti kaksi tapaa ottaa vektorijohdannainen. Kaksi vektorien kertomistapaa ovat pistetulon ja ristitulon käyttäminen ”; jokaisen kertomuksen tulos on vastaavasti skalaariarvo ja vektoriarvo.
Esimerkki pistetuotteesta on sähkökentän divergenssin laskeminen:
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Tässä otetaan johdannainen pistetuotteen avulla ja meille jätetään skalaariarvo {\ rho} \_v, joka on tilavuuden varaustiheys alue.
Esimerkki ristitulosta on sähkökentän käpristyksen laskemisessa:
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Tässä otetaan johdannainen käyttämällä ristituotetta, ja meille jätetään vektoriarvo \ mathbf {B} (tarkemmin sanottuna sen aikajohdannainen).
Del-operaattori on hyödyllinen myös vektorien ulkopuolella. Jos käsittelemme Del-operaattoria vain kolmen eri asian summana, voimme kertoa sen jollakin skalaarifunktiolla ja funktio jakautuu koko asiaan:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ osittainen f (x, y, z)} {\ osittainen x} + {\ hat y} \ frac {\ osallinen f (x, y, z)} {\ osittainen y} + {\ hat z} \ frac {\ partitio f (x, y, z)} {\ osittainen z}
Tässä tapauksessa olemme muuttaneet skalaarin vektoriksi! Tätä kutsutaan skalaaritoiminnon ”gradientin” ottamiseksi. Mitä se tekee, kertoo se, mihin suuntaan funktio muuttuu nopeimmin. Tätä käytetään usein potentiaalisissa kentissä, jotka ovat muodossa:
\ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
missä \ mathbf {U} on potentiaalienergia (kuten jousi tai painovoima) ja F on voima, joka syntyy sijoittamalla kyseiseen kenttään. Se on edelleen vektorijohdannainen, jota kuvasimme Del-operaattoria aikaisemmin, vain se on skalaarin vektorijohdannainen vektorin vektorijohdannaisen sijaan. Jep, myös niitä on olemassa!
Ja se jatkuu. Olet ehkä nähnyt termin {\ nabla} ^ 2; tämä tunnetaan nimellä Laplacian, ja se nähdään esimerkiksi aaltoyhtälössä. Se on käytännössä vain Del Operatorin käyttöä kahdesti peräkkäin. Se voidaan laajentaa muihin koordinaattijärjestelmiin, joissa on enemmän muuttujia, tai pienentää kahteen tai yhteen ulottuvuuteen. Se on erittäin tärkeä käsite, ja sitä käytetään melkein kaikilla fysiikan aloilla!
Vastaus
Del-operaattori (jota kutsutaan joskus myös nablaksi) määritellään seuraavasti suorakulmaisissa koordinaateissa :
\ nabla \ equiv \ frac {\ partitali {\ partituali} \ hattu {i} + \ frac {\ osallinen {\ osal y} \ hattu {j} + \ frac {\ osallinen} {\ osallinen z} \ hattu {k}
Mitä tulee fyysiseen merkitykseen?
Del-operaattori toimii spatiaalisen johdannaisen vektorilaskennan ekvivalenttina. Del-operaattoriin liittyy kolmen tyyppisiä johdannaisia. Oletetaan, että A on vektori ja \ phi on skalaari.
Liukuvärjäys: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ partituali \ phi} {\ osittainen x} \ hat {i} + \ frac {\ partituali \ phi} {\ osittainen y} \ hattu {j} + \ frac {\ osallinen \ phi} {\ osittainen z} \ hattu {k}
Divergenssi: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ osittainen A\_x} {\ osallinen x} + \ frac {\ osittainen A\_y} {\ osal y} + \ frac {\ osittainen A\_z} {\ osallinen z}
kihara: kihara (A) = \ nabla \ kertaa A = \ alkaa {vmatrix} \ hattu {i} & \ hattu {j} & \ hattu {k} \\ \ frac {\ partituali {\ osaa x} & \ frac {\ osallinen} {\ osallinen y} & \ frac {\ partituuli {\ osittainen z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ loppu {vmatrix}
Jokaisella näistä johdannaistyypeistä on mielenkiintoisia ominaisuuksia, joita voit itse googlata.
Toivottavasti tämä auttaa!
Huomaa: Kaikki nämä yhtälöt ovat erilaiset muissa koordinaattijärjestelmissä (esim. pallomaiset, lieriömäiset) . Ole varovainen!