Mikä on ensimmäisen n luonnollisen luvun neliöjuurien summa?

Paras vastaus

Mielestäni tämän summan arvo (joka on merkitty merkillä) \; \; S \; \; on noin \; \; \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;

Se voidaan perustella seuraavasti:

\; \; A (n) \; = \; \ int\_ {1} ^ {n + 1} \; \ sqrt {x} \; dx \; = \; \ frac {2} {3}. \ iso (\; (n + 1) ^ {\ frac {3} {2}} \; – \; 2 ^ {\ frac {3} {2}} \; \ iso) \; \; \; antaa käyrän alla olevan alueen \; \; y \; = \; \ sqrt {x} \ ;, \; X-akseli ja ordinaatit pisteissä \; \; x \; = \; 1 \; \; ja \; \; x \; = \; n + 1 \;. \; ….. …………. (1)

Vaadittu summa \; \; S (n) \; \; voidaan tulkita \; \; n alueeksi \; \; suorakulmaiset pystysuorat palkit, joiden leveys \; \; 1 \; \; korkeus \; \; \ sqrt {j} \; \; pystytetään \; \; X – \; \; -akselille, johon \; \; j \ ; = \; 1,2,3, .., n \; \; (suorakulmion \; \; j ^ {th} \; \; pystysuorat sivut ovat osia ordinaateista kohdassa \; \; x = j \; \; ja \; \; x = j + 1 \ ; \;)

Hyvän likiarvon saamiseksi meidän on vähennettävä virhetermi \; \; E (n) \; = \; käyrän ja suorakaiteen muotoisten palkkien välinen alue alkaen (1).

Huomaa, että \; \; E (n) \; \ noin \; \ summa\_ {j = 1} ^ {n} \; \ iso (\; \ sqrt {j + 1} \; – \; \ sqrt {j} \; \ iso) \; = \; \; \ sqrt {n + 1} \; – \; 1 \ ; \; …………………. (2)

Yksinkertaistamisen yhteydessä saadaan \; \; S (n) \; \ noin \; A (n) \; – \; E (n) \; = \; \ frac {2} {3}. \ Iso (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;