Paras vastaus
Suurin osa kohtaamistasi sekvensseistä on annettu kaavalla n- kolmas termi: a\_n = f (n) missä f on funktio, joka on rakennettu aritmeettisista operaatioista, voimista, juurista, eksponentista, lokeista ja joskus muista funktioista. Kysymys kuuluu, mitä tapahtuu, kun n lähestyy ääretöntä. Onko \ lim\_ {n \ to \ infty} f (n) rajallinen luku, toisin sanoen, sekvenssi yhtyykö vai tapahtuuko jotain muuta? Eriintyykö se \ infty vai – \ infty, värähteleekö se kahden eri numeron välillä vai hajoako kaikki kaaos?
Jos et ole kiinnostunut varmuudesta, mutta olet tyytyväinen tähän vastaukseen? s tulee olemaan oikeassa useimmissa tilanteissa, voit vain laskea a\_ {1000} tai jonnekin muualle kauas järjestyksessä. Useimpien kohtaamiesi sekvenssien pitäisi vastata kysymykseesi.
Mutta se ei ole sinun kysymyksesi. Haluat todella tietää, onko sekvenssi yhtenevä vai ei. Haluat varmuutta ja jos mahdollista, haluat tietää mihin numeroon se yhtyy. Valitettavasti lomakkeiden sekvenssit voivat olla rajattomat. Parasta mitä voit tehdä, on, että sinulla on useita periaatteita, jotka hoitavat useimmat tapaukset. Tässä on muutama periaate.
- Rationaaliset funktiot , eli polynomien, kuten a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n, osamäärät +8}. Näet mitä tapahtuu, jos jaat osoittajan ja nimittäjän läsnä olevan n: n suurimmalla voimalla. Voit tiivistää kaiken lauseessa: Jos osoittajan aste on sama kuin nimittäjän aste, sitten sekvenssi yhtyy johtavien kertoimien suhteeseen (esimerkissä 4/3); jos nimittäjällä on korkeampi aste, niin sekvenssi yhtyy 0: een; jos osoittajalla on korkea r astetta, sitten sekvenssi eroaa \ infty, jos johtavilla kertoimilla on sama merkki, tai – \ infty, jos niillä on erilaiset merkit.
- Quotients algebrallisista funktioista, joihin liittyy juuria, kuten a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}. Jaa osoittaja ja nimittäjä murtoluvulla n. Tässä esimerkissä \ sqrt n toimii.
- Sävellykset , esimerkiksi a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. Ulkoinen toiminto, sini, on jatkuva toiminto, ja jatkuvat toiminnot säilyttävät rajat. Tässä tapauksessa meillä on \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0, joten alkuperäinen sekvenssi lähestyy \ sin0 = 0. Harkitse sen sijaan a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5}. Täällä meillä on \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ to \ infty, ja \ sin x värähtelee välillä -1 ja 1 välillä x \ to \ infty, joten tällä sekvenssillä ei ole rajoituksia.
- Suhteelliset kasvujärjestykset . Sinulla on usein a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)}, jossa sekä f (n) \ että \ infty että g (n) \ to \ infty. Mitä osamäärälle tapahtuu, riippuu siitä, osoitin tai nimittäjä kasvaa nopeammin. Käytän symbolia \ prec osoittamaan, että yksi kasvaa paljon hitaammin kuin toinen, ts. f \ prec g tarkoittaa \ lim\_ {n \ to \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. On hyödyllistä tietää muutama näistä, ja sinäkin. Esimerkiksi n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. Nämä ovat kaikki esimerkkejä polynomeista, mutta sinun tulisi tietää muutama muu funktio \ loki n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- L ”Hôpital” -sääntö . Vaikka sekvenssit ovat erillisiä, jos jatkuva raja lähentyy tai jos se eroaa plus- tai miinus-äärettömyyteen, niin niin Joten esimerkiksi jos sinulla on a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n} etkä käyttänyt yllä mainittuja järjestyksiä, voit käyttää L ”Hôpital” s sääntö. Koska raja-arvossa \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, niin osoittaja että nimittäjä ovat lähestymässä äärettömyyttä, tämä raja on sama kuin rajoita, missä korvataan osoittaja ja nimittäjä niiden johdannaisilla \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}, ja jos ei vieläkään ole selvää, mitä tapahtuu, koska tämä on myös muodossa \ infty / \ infty, voit käyttää L ”Hôpital” -sääntöä ag ain.
- e ^ x: n erityinen raja. Joskus tätä käytetään eksponentiaalisen funktion määritelmänä. Se kannattaa tietää ja se tulee esiin usein hyödyllisissä jaksoissa. (1 + x / n) ^ n \ – e ^ x
Olen varma, että tekniikoita on enemmän. Älä unohda yksinkertaistaa algebran käyttöä.
Vastaa
Muutama testi sekvenssien lähentymisen testaamiseksi.
1. Annetaan sekvenssi a\_n ja jos meillä on funktio f (x) siten, että f (n) = a\_n ja \ lim\_ {n \ to \ infty} f (x) = L, \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = L
2. Jos \ lim\_ {n \ to \ infty} | a\_n | = 0 niin \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = 0
3. Järjestys {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty yhtyy, jos -1 \ ler \ le1.
4. Järjestykselle \ {a\_n \} jos \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ – \ infty} a\_ {2n + 1} = L, sitten a\_n on yhtenevä raja-arvon L kanssa.