Paras vastaus
Täältä löydät 2 vastausta tähän kysymykseen.
- -1/12
- Ääretön
Selvästi \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n eroavat toisistaan. Mutta miksi sitten jotkut ihmiset vastaavat -1/12? Koska molemmat ovat oikeita.
Tämä on yksinkertaisin esimerkki fyysisten teorioiden ymmärtämisen kannalta ratkaisevasta käsitteestä, laillistamisesta. Luvulla -1/12, joka on näennäisesti järjetön, on fyysinen tulkinta niin sanotussa Casimir-energiassa.
Kun yritämme laskea fyysisiä määriä kvanttiteorioissa, saamme usein äärettömyyden. Siinä vaiheessa voimme vain heittää vastauksen pois, mutta se ei johtaisi minnekään. Vaihtoehtoisesti voimme yrittää tehdä siitä järkevää. Tätä varten yritämme poimia äärellisen vastauksen äärettömyydestä. Tätä prosessia kutsutaan laillistamiseksi. Divergenttisarjan (tai integraalin) systemaattiseen laillistamiseen voisi olla monia tapoja, mutta tärkeä asia on, että kaikki nämä menetelmät antaisivat saman rajallisen tuloksen. Erityisesti edellä mainittu summa antaisi meille aina -1/12. Tämä itsessään viittaa siihen, että -1/12 ei ole täysin järjetön.
Seuraava keskustelu on johdettu lähinnä osiosta Birrel and Davies – Kvanttikentät kaarevassa tilassa. Esitän keskustelun ydinsisältöä.
Oletetaan, että tarkastelemme massatonta skalaarikenttää kahdessa ulottuvuudessa (yksi ajosuunta ja yksi avaruus). Massaton skalaarikenttä muistuttaa paljon sähkömagneettista kenttää, mutta paljon yksinkertaisempaa. Rajoitetaan myös skalaarikenttä kehän L ympyrälle. Nyt olemme määrittäneet kvanttijärjestelmän ja voimme yrittää laskea useita määriä, mukaan lukien tämän järjestelmän minimi- / perustilan energia. Perustilan energia osoittautuu E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n.
Nyt voimme normalisoida tämän integraalin ja saada E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). Tärkeä seikka on se, että saamme juuri tämän, jos yritämme laskea eron tämän järjestelmän perustilan energian ja toisen samanlaisen järjestelmän välillä, jossa skalaarikenttä on rajoitettu äärettömän pitkällä viivalla (joka on olennaisesti ottaen ääretön). On selvää, että tämä säännelty energia on fyysinen määrä ja itse asiassa se voidaan mitata laboratoriossa.
Päätelmänä on, että lause \ summa \ rajoitukset\_ {n \ sisään \ mathbb {R}} n = -1/12 ei ole mitätön.
Muokkaa:
Seuraava on yksi tapa korjata summa.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alfa \ to 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
Yllä oleva raja eroaa odotetusti , mutta voidaan kirjoittaa seuraavasti:
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
Näin haemme laillistetun äärellisen osan poikkeavasta summauksesta. Tapa laillistaa summa ei ole missään nimessä ainutlaatuinen, mutta summan rajallinen osa on aina -1/12.
Vastaus
Mitä tarkoitamme sanalla ”on” tai ” ”Tasa-arvo”? Tämä on kysymys, joka aiheuttaa sekaannusta kaikkien luonnollisten lukujen summasta.
Äärelliset summat
Emme ”Ei ole ongelmia äärellisten summien kanssa:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
on täysin määritelty mille tahansa a\_i \ -sekvenssille \ mathbb R: ssä. Lisäyksen kommutatiivisuuden ja assosiatiivisuuden ansiosta se ei edes riippu a\_i: n järjestys: voit sekoittaa sekvenssin missä tahansa permutaatiossa vaikuttamatta tulokseen.
Ääretön sarja
Kun pääsemme äärettömiin jaksoihin, (a\_i), mitä loputon summa edes tarkoittaa? Mikä on se?
Yksinkertaisin, turvallisin ja oletus merkitys on rajallisten summien raja . Tämä on äärettömän summan määritelmä.
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
Kun tämä sarja yhtenee ehdottomasti , kaikki on hyvin ja hieno. Voit:
- luottaa tulokseen;
- sekoittaa termien järjestystä;
- lisätä tai vähentää kahta tällaista sarjaa; ja jopa
- vaihtaa kahden sisäkkäisen yhteenlaskun järjestystä.
Mutta jos sarja on erilainen tai vain ehdollisesti yhtenevä arvo:
- ei välttämättä ole olemassa;
- voi riippua järjestyksestä; tai
- saattaa vaatia hienoja menetelmiä määritelläksesi
ja et voi eikä manipuloida sekvenssi eikä lisää / vähennä kahta tällaista sekvenssiä.
Näin on luonnollisten numeroiden summalla, jossa
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
Tämä eroaa selvästi arvosta + \ infty kuin n \ to \ infty, joten vakio-oletusarvoa ei ole olemassa. Ja se on niin pitkälle kuin useimpien ihmisten pitäisi mennä.
Fancy Methods
Jos et täysin, edes ymmärrä läheisesti kaiken yllä olevan tarkan merkityksen, sinun ei pitäisi siirtyä ”hienoihin menetelmiin”. Yhtä lailla sinun tulisi kohdella ketään, joka manipuloi ei-absoluuttisesti yhteneviä sekvenssejä, ikään kuin jakoisi nollalla: tulokset ovat yhtä luotettavia.
On olemassa täysin kunnioitettava ääretön sarja nimeltä Dirichlet-sarja :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Jos (a\_n) on rajattu, tämä sarja yhtyy ehdottomasti mihin tahansa s \ in \ mathbb C: hen, jonka todellinen osa on ehdottomasti suurempi kuin yksi, \ Re (s)> 1. \ Re (s) \ leq1: n kohdalla olemme vähemmän vankalla pohjalla …
Analyyttinen jatkoa
Koska f ( s) on analyyttinen toiminto , joka määritetään avoimelle puolitasolle \ Re (s)> 1: llä, sillä on olennaisesti ainutlaatuinen analyyttinen jatko muulle Complex-tasolle. Jatkoa, kun kaikki a\_n ovat yksi, f\_1 (s), on Riemann Zeta -toiminto :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ teksti {d} x
missä \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x on gammafunktio , Factorial-funktion analyyttinen laajennus.
For \ Re (s)> 1, \ zeta (s) = f\_1 (s).
For s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ piste ei lähene
Jos haluat nyt tehdä jotain, jota kutsutaan nimellä zeta-toiminnon laillistaminen , voisi vakuuttaa
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
mutta huomaa, että olet hämmentämässä mitä ”tasa-arvo” tarkoittaa ja mitä summa ”on”.
Kaikki on hienoa, mutta jos olet tullut niin pitkälle, olet huomannut, kuinka paljon sinun on tietää ymmärtämään mitä olet tekemässä. Paljon enemmän kuin tavallisesti saavutat Numberphile-videon…