Paras vastaus
”Kaikkien reaalilukujen summaa” ei ole määritelty perinteisessä matematiikassa, enkä ole varma että se voidaan määritellä aiheuttamatta vakavia ongelmia.
Ensimmäinen ongelma on, että kaikkien reaalilukujen joukko on lukematon joukko, toisin sanoen sitä ei voida asettaa henkilökohtaiseen suhteeseen laskemisen kanssa. numerot (esim. 1, 2, 3, 4 jne.) Ei ole tavanomaista määritelmää laskemattoman joukon jäsenten summasta, mutta joidenkin laskettavien joukkojen jäsenten summa.
Oletetaan, että sinulla on laskettava joukko {x1, x2, x3,…. xn,…}. Voit määrittää osittaisen summan Sn = x1 + x2 + x3 +… + xn, ts. Ensimmäisen n termin summa. Varmistaaksesi, että mikään ei mene pieleen, jos järjestät sarjan uudelleen, voit määrittää positiivisen osasumman Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn /. Jos sarjan Pn raja (kun n menee inifiniteettiin) on olemassa, myös sarjan Sn raja on olemassa (mutta se ei ole sama kuin Pn: n raja, elleivät kaikki xn ole negatiivisia). Tämä tarkoittaa sitä, että voit sanoa, että kaikkien laskettavissa olevan joukon numeroiden summa on sarjan Sn raja.
Joten jos joukko on {1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2 ^ n,…}, sinulla on hienosti yhtenevä sarja ja joukon jäsenten summa on 1. Jos sinulla on kuitenkin kaikki kokonaisluvut (positiivinen mainos negatiivinen), sinulla on laskettava joukko {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3,…, n, -n,…}, mutta osittaiset summat eivät lähene toisiaan – ne ovat 0, 1, 0, 2, 3, 0,…, n, 0,…
Tämä kokonaislukujen lähentymisen puute tapahtuu huolimatta siitä, että jokaisella positiivisella kokonaisluvulla n on vastaava negatiivinen kokonaisluku, joten luulet niiden peruuttavan. Ne eivät kuitenkaan peruuta jokaista vaihtoehtoista osamäärää, eivätkä ne peruisi, jos otat sarjan eri järjestyksessä, e, g. {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2,…}.
Todelliset luvut ovat huonommat, koska joukon summaa ei ole määritelty, koska se on lukemattomia, ja vaikka niitä olisikin, vaihtamalla niiden ottamisjärjestystä saataisiin erilainen tulos, vaikka jokaiselle positiiviselle reaaliluvulle on vastaava negatiivinen reaaliluku.
Vastaa
Ratkaistaan se käyttämällä -ryhmäteoriaa.
Olkoon G (\ mathbb {R}, +) -ryhmä.
Sillä on additiivinen identiteetti eli 0 ja additiivinen käänteinen \ forall a \ in G: ssä on -a.
Nyt kun lisäät tämän ryhmän kaikki elementit, meillä on muodostaa parin numerosta ja käänteinen peruuttaa toisensa.
\ sum\_ {a \ in G} a
= \ sum\_ {a \ G ^ +} + \ sum\_ {a \ G ^ -} + 0, Voimme kirjoittaa tämän tämän erikoisryhmä.
Jaoit joukon \ mathbb {R} osiin \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^ -} ja identiteetti-elementti.
Kirjoitetaan yllä oleva lauseke nimellä
= X + Y + 0
As 0 on identiteetti,
yllä oleva lauseke antaa
= X + Y
Nyt \ forall a \ X, a ^ {- 1} \ in Y
\ tarkoittaa X = Y ^ {- 1}
\ tarkoittaa Y = -X
\ tarkoittaa X + Y = identiteettielementti G = 0.
Näin ollen kaikkien reaalilukujen summa on nolla.