Paras vastaus
Yksi on vaikea valita, joten jätän sinut valitsemaan 🙂
- Eulerin identiteetti
Yhtälö yhdistää viisi matematiikan tärkeintä lukua Nämä ovat:
- 1 – kaikkien muiden lukujen perusta
- 0 – olemattomuuden käsite
- pi – numero, joka määrittää ympyrän
- e – eksponentiaalisen kasvun taustalla oleva numero
- i – -1 kuvitteellinen neliöjuuri
2. Einsteinin kenttäyhtälö ( kymmenen yhtälön yhteenveto)
Fyysikko John Wheeler tiivisti asian ytimekkäästi: ”Aika-aika kertoo kuinka liikkua ; aine kertoo avaruus-ajalta kuinka käyristää. ”
Einsteinin yhtälö voi kertoa meille kuinka universumimme on muuttunut ajan myötä, ja tarjoaa välähdyksiä aikaisimmasta hetkestä luomisen. Ei ole mikään yllätys, että se on monien tutkijoiden suosikki.
3. Aaltoyhtälö
Aaltoyhtälö kuvaa aaltojen etenemistä. Se koskee kaikenlaisia aaltoja, vesiaalloista ääniin ja värinöihin, ja jopa valo- ja radioaaltoja.
Se on julistaja-ajatus siitä, että matemaattiset periaatteet kehittyivät yhdellä alueella tai omille Sillä voi olla elintärkeitä sovelluksia muilla alueilla. Sen kauneus johtuu näiden ominaisuuksien yhdistelmästä: eleganssi, yllätys, älyllinen syvyys, hyödyllisyys.
4. Logistinen kartta
Logistinen kartta on yksi kaaositeorian klassisista esimerkeistä.
Se voidaan tiivistää seuraavasti: monimutkaisuus voi johtua hyvin yksinkertaisista säännöistä.
Yhtälöä voidaan käyttää mallinnamaan monia luonnollisia prosesseja, esimerkiksi kuinka eläinten populaatio kasvaa ja kutistuu ajan myötä.
Väestön käyttäytyminen osoittautuu äärimmäisen herkäksi r: n arvolle, vasta-intuitiivisilla tavoilla. Jos r on 0 ja 1, populaatio kuolee aina, mutta jos se on välillä 1 ja 3, populaatio lähestyy kiinteää arvoa – ja jos se on yli 3,56995, populaatiosta tulee erittäin arvaamaton. matemaatikot kuvaavat ”kaoottisiksi”, eivätkä ne ole sitä, mitä voisimme vaistomaisesti odottaa. Mutta ne kaikki syntyvät matemaattisesti melko yksinkertaisesta yhtälöstä.
Se on nyt, toistaiseksi.
Jos luulet, että olen jättänyt jonkin yhtälön, niin kerro minulle, minä ” Lisää se vastaukseen 🙂
Vastaus
Näen paljon PEMDAS-laskennan perusongelmia, jotka on nyt lähetetty tänne, mutta se on perusmatematiikka, josta olen varma 99\% ihmisistä, jotka luulevat olevansa todella hyviä matematiikassa, voivat korjata tilanteensa. Huomasin myös Bob Hockin yhtälön, joka on hyvin luova, mutta en usko sen olevan niin vaikeaa todistaa.
Tähän julkaisemani ongelma on vuoden 2006 AIME II -tehtävä 15, joka näyttää hyvin monimutkaiselta, mutta hajoaa joksikin melko yksinkertaiseksi luovan suhteen kautta:
Ottaen huomioon, että x, y ja z ovat reaalilukuja, jotka tyydyttävät
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
ja että x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, missä m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja ja n on ei ole jaettavissa minkään alkuluvun neliöllä, etsi m + n
Ensi silmäyksellä ratkaisemme algebraongelman, josta meidän on löydettävä summa. Ensimmäinen ajatus voisi olla yhtälöiden neliöinti, jotta neliöjuurista päästäisiin eroon jossain määrin, mutta tällainen menetelmä on selvästi sotkuinen.
Huomaa, että meidän ei tarvitse ratkaista kutakin x, y: tä , z erikseen ja tarvitsemme vain niiden summan, voimme harkita kolmen annetun yhtälön lisäämistä, mikä antaa
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
Meillä on mitä tarvitsemme tarvetta toisella puolella, mutta toinen puoli ei näytä siltä, että mikään peruisi, joten tämä ei vaikuta oikealta.
Kolmas idea olisi kertoa lauseke neliöjuurien sisällä käyttämällä neliöeroa koska annetut murtoluvut ovat kaikki täydellisiä neliöitä. Tällöin
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ vasen (z- \ frac {1} {4} \ oikea) \ vasen (z + \ frac {1} {4} \ oikea)}
jne., mutta silti ei ole selkeää tapaa manipuloida tekijöitä millä tahansa hyödyllisellä tavalla. Lyhyesti sanottuna voimme yrittää ratkaista yhden muuttujan kerrallaan, mutta siihen ei ole selkeää tapaa.
On käynyt ilmi, että paras ratkaisu tähän ongelmaan on ajatella geometrisesti. Palautetaan mieleen Pythagorean lause, jonka mukaan suorassa kolmiossa, jossa on jalat a, b ja hypotenuus c, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Voimme manipuloida tätä saadaksemme a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2}. Tämä on täsmälleen muoto yhtälöiden RHS: ssä olevista termeistä.
Jos piirrämme kolmion tämän toteutuksen mukaisesti, ensimmäisestä yhtälöstä voidaan muodostaa kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden korkeus on \ frac {1} {4}, ja hypotenuusilla y ja z. x on yhtä suuri kuin kunkin suorakulmion kolmannen pituuden summa. Jos annamme suorakulmioiden korkeuden olla sama pituussuuntainen segmentti \ frac {1} {4}, muodostamme suuremman kolmion, jonka sivupituudet x, y, z ja \ frac {1} {4} x-puolella.
Jatkamalla samaa ajatusta toisesta ja kolmannesta yhtälöstä saamme, että kolmion korkeus y- ja z-puolilla on \ frac {1} {5} ja \ frac {1} {6}. Kolmion pinta-alayhtälöstä voimme saada
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {ja} y = \ frac {5} {6} z
Lisäksi Heronin kaavasta , saamme
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
Korvaamalla z muista aluekaavoista, tämä yksinkertaistuu muotoon
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
Siten
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
joten m + n = 2 + 7 = \ boxed {9}