Mikä on loppuosa, kun 17 ^ 200 jaetaan 18: lla?


Paras vastaus

\ mathbf {\ text {Ensimmäinen ratkaisu.}}

17 ^ {200} \ equiv 17 ^ {200} \ pmod {18}

\ tarkoittaa 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ tarkoittaa 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ text {Toinen ratkaisu Eulerin lauseen avulla.}}

\ text { (17, 18) ovat suhteellisen tärkeitä. Voimme käyttää Eulerin teoreemaa.}

\ text {Eulerin totient-funktio.}

\ varphi (18) = 18 \ left (1 – \ dfrac {1} {2} \ oikea) \ vasen (1 – \ dfrac {1} {3} \ oikea) = 18 \ vasen (\ dfrac {1} {2} \ oikea) \ vasen (\ dfrac {2} {3} \ oikea) = 6

17 ^ {6} \ equiv 1 \ mod {18}

\ implises (17 ^ {6}) ^ {33} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ merkitsee 17 ^ {198} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ tarkoittaa 17 ^ {200} \ equiv 17 ^ 2 \ pmod {18}

\ tarkoittaa 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ 2 \ pmod {18}

\ tarkoittaa 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ siksi \, \, \ text {1 on loppuosa, kun} \, \, 17 ^ {200} \, \, \ text {jaetaan 18: lla}}

Vastaa

Haluamme loput, kun 17 ^ {200} jaetaan 18: lla.

17 \ equiv (-1) \ pmod {18}.

\ Rightarrow \ qquad 17 ^ {200} \ pmod {18} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ qquad \ equiv 1 \ pmod {18} \ equiv 1.

\ Rightarrow \ qquad Loput, kun 17 ^ {200} jaetaan 18: lla, on 1.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *