Paras vastaus
\ frac {d} {dx} ei ole ”asia”. Sinun pitäisi ajatella sitä ikään kuin se olisi toiminnon tai operaation nimi tai funktio, joka vie yhden syötteen. [1]
Jos f (x) on funktio, saatamme haluta suorittaa erottelutoimi tälle toiminnolle; yksi tapa kirjoittaa toiminto on \ frac {d} {dx} f (x). Tämä tarkoittaa, että f (x) on tulo erotteluun-x-suhteen suhteen.
Kieliopillisesti \ frac {d} {dx} ei ole ”täydellinen lause”. tai jopa omavarainen substantiivi. Se on enemmän kuin verbi, joka tarvitsee suoran objektin. Suora objekti voi olla mikä tahansa x: n funktio – erityisesti, jos y on x: n funktio, \ frac {d} {dx} y on järkevää kirjoittaa . Englanniksi tämä lause tarkoittaa ”tulosta ottamalla y: n johdannainen-suhteen-x: n kanssa”. Lyhyesti sanottuna kirjoitamme tämän yleensä \ frac {dy} {dx}, mutta kunnes olet tyytyväinen \ frac {d} {dx} -merkintää, suosittelen, että kirjoitat jatkossa erittelyoperaation syötteen oikealle, kuten olen tehnyt.
Toiseen kysymykseesi: ketjusääntö on menetelmä funktioiden koostumuksen derivaatan laskemiseksi.
[1] Kyllä, tiedän, myös funktiot ovat asioita.
Vastaus
Olkoon f toiminto:
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ oikea) missä x\_ {1} = x\_ {1} \ vasen (t \ oikea), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ vasen (t \ oikea)
Anna ”s laskee \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. Erottamalla (1) saamme:
(2) df = \ frac {\ partitio f} {\ osittainen x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ osittainen f } {\ partituali x\_ {n}} dx\_ {n}
Jos jaamme molemmat puolet dt: llä, tulos on:
df = \ frac {\ osittainen f} {\ osallinen x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ osittainen f} {\ osittain x\_ {1}} \ frac {\ teksti {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
Saamme lopputuloksen:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ osittainen f} {\ osittain x\_ {1}} x ”\_ {1} (t) + … + \ frac {\ osallinen f} {\ osallinen x\_ {n}} x ”\_ {n} (t) Tämä johto tehdään käyttämällä monivaihtelevan funktion differentiaalimääritystä (yhtälö (2)).
Kuinka siis saimme tämän määritelmän? Katsotaan ensin, kuinka määrittelemme f: n erottuvan jossain vaiheessa A.
Jos voimme osoittaa, että funktion f kokonaisero jossain vaiheessa A näyttää tältä:
\ kolmio f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ kolmio x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
jossa p\_ {k} on jokin numeerinen kerroin, \ omega on funktio, jolla on ominaisuus, joka \ lim\_ {X \ oikeanpuoleinen nuoli A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 ja \ rho (X, A) on euklidinen etäisyys A: n ja X: n välillä, sanomme sen funktio f voidaan erottaa kohdassa A.
Tarvitsemme vielä yhden lauseen:
Lauseke \ omega (X) \ rho (X, A) yllä olevasta voi kirjoitetaan seuraavasti:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Todiste:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ vasen (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ vasen (x\_ {k} -a\_ {k} \ oikea) \ oikea)
koska | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), koska | x\_ {k} -a\_ {k} | on reuna d \ rho (X, A) on suorakulmaisen suuntaissärmän diagonaali, jonka murtoluvun voidaan pitää \ epsilon\_ {k} (X).
Tarvitsemme nyt vain yhden lauseen, jotta pääsisimme eroon. Tämä lause antaa meille tarvittavat ehdot funktion eron saamiseksi.
Jos funktio f on, voidaan erotettu jossain vaiheessa A, silloin siinä on osittaisia eroja, ja on totta, että:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ osittainen f} {\ osittain x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Todiste:
Koska olemme sanoneet, että f voidaan erottaa kohdassa A, voimme kirjoittaa:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
Sanotaan, että n-1 muuttujat ovat vakioita, ja annamme vain yhden muutoksen vähitellen. Esimerkiksi: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n}, saamme:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. Vasemmalla puolella on erotus suhteessa x\_ {1}. Jos jaamme molemmat puolet x\_ {1} -a\_ {1} = \ kolmioon x\_ {1} saamme:
\ frac {\ kolmio f\_ {x\_ {1}}} {\ kolmio x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Nyt, jos x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , eli \ kolmio x\_ {1} \ mapsto 0, vasemmalla puolella on osittainen ero suhteessa x\_ {1}, ja oikealla puolella on jäljellä p\_ {1}, koska olemme sanoneet, että \ omega (X) \ mapsto 0. On helppo nähdä, että sama tulos pätee riippumatta siitä, mitä muuttujaa lopulta muutamme, joten olemme todistaneet tämän lauseen. Sieltä meillä on se, että
df = \ frac {\ partis f} {\ osittain x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ osallinen f} {\ osittain x\_ { n}} dx\_ {n}, jota käytimme ratkaisun löytämiseen.