Paras vastaus
Tämän summan johdannainen on samanlainen kuin
\ displaystyle \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}
Anna
S = 1 + 3 + 5 + \ pistettä + (2n-1) \ tag * {(1)}
Koska lisäys on kommutatiivista, voimme kirjoittaa S: n päinvastoin kuten niin
S = (2n-1) + (2 (n-1) – 1) + (2 (n-2) – 1) + \ pisteet + 1 \ tag * {(2)}
Näiden kahden lisääminen esitykset termi termittäin antaa meille
S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ pistettä (1 + ( 2n-1)) \ tag * {(3)}
2S = \ alatuki {2n + 2n + \ pistettä 2n} \_ {\ teksti {n kertaa}} \ tag * {(4)}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}
Tästä seuraa selvästi, että
S = n ^ {2} \ tag * {(6)}
Tämä on tunnettu tulos, joka voidaan todistaa induktiolla, jonka aion jatkaa ja tehdä juuri nyt. Tätä varten meidän on näytettävä, että
H\_ {0}: \ {1 + 3 + 5 + \ pistettä + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ kaikki n \ sisään \ mathbb {N} \ tag * {(7)}
(Huomaa: Käytän H\_ {0} -merkintää hypoteesilausekkeen lyhenteenä)
Osoittaaksesi, että H\_ { 0} pätee induktioon, meidän on osoitettava, että yhtälö pätee perustapaukseen n = 1 ja induktiotapaukseen n = k + 1, k \ in \ mathbb {N}. Perustapaus on ilmeinen, koska 1 = 1 ^ {2} = 1, mikä jättää meille induktiotapauksen.
k ^ {2} + 2 (k + 1) – 1 = (k + 1 ) ^ {2} \ tag * {(8)}
k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(9)}
(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}
Näemme, että yhtälö pätee k + 1: een, jolloin todistaa, että H\_ {0} on totta. Siksi voimme lopullisesti väittää, että johdannomme (6) on todella oikea.
1 + 3 + 5 + \ pistettä + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}
Vastaa
Katsotaan ja katsotaan. Kuka tahansa voi ainakin tarkkailla muutamia ensimmäisiä esiintymiä, eikö?
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Tunnistatko oikealla olevat numerot?
1,4,9,16,25, \ ldots
Kyllä! Ne ovat täydellisiä neliöitä. 1 \ kertaa 1, 2 \ kertaa 2, 3 \ kertaa 3, 4 \ kertaa 4 ja niin edelleen.
Meillä on nyt arvelu. Laitetaan se testiin:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Kyllä! Kuusi pienintä parittomia lukuja on yhteensä 6 ^ 2, kuten olimme ennustaneet. Voit kokeilla vielä muutama: se toimii.
Jos olemme fyysikkoja, pysähdymme täällä. Olemme havainneet, muodostimme hypoteesin, testasimme hypoteesiimme kokeellisesti kerran ja kahdesti ja sata kertaa, se toimii aina, tehty. Teoriamme on oikea, kunnes kokeilu kumoaa sen.
Mutta me ovat matemaatikkoja, emme ole me. Vaadimme todisteita. Ja tästä hienosta pienestä tosiasiasta on olemassa tarkkoja todisteita.
Mutta siellä on myös kristallinkirkas visuaalinen todiste. Tässä se on:
MUOKKAA: monet ihmiset ovat pyytäneet tarkkaa todistetta. Tässä on suhteellisen yksinkertainen todistus, joka voidaan johtaa tästä visuaalisesta todisteesta.
Huomaa, että parittomat luvut ovat vain peräkkäisten neliöiden väliset erot, kuten näin:
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
ja niin edelleen. Siksi kun ne lasketaan yhteen, kaikki perutaan paitsi viimeinen neliö:
1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2
Kirjoitetaan siis nyt tämä virallisesti kaikille lisättäville parittomille numeroille. k,
2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2
ja siten ensimmäisen n parittoman luvun summa, joka on
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
on yhtä suuri kuin
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ summa\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ summa\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED