Mikä on pyöreän kartion yhtälö?


Paras vastaus

Oletan, että se on oikea pyöreä kartio, jonka säde R ja korkeus H, keskitettynä alkupisteeseen O ja sen akseli on Z-akselia pitkin, X- ja Y-akselit kulkevat alustan läpi.

Tässä skenaariossa voimme ilmaista sen sarjana ympyröitä tai levyjä, jotka on sijoitettu päällekkäin, pienenemällä tasaisesti säde alhaalta ylöspäin.

Joten ympyrän säde tietyllä korkeudella h ylhäältä on r = htan (θ), jossa θ on puolipystykulma.

Tällaisen ympyrän yhtälö on x ^ 2 + y ^ 2 = h ^ 2tan ^ 2 (θ).

Tämän ympyrän kukin piste voidaan ilmaista 3-koordinaattisessa suorakulmaisessa tilassa (htan (θ) cos (Φ), htan (θ) sin (Φ), Hh).

Missä h vaihtelee 0: sta ylhäällä H: ään alareunaan ja Φ on parametrin kulma ympyrän yleiskohta.

Tämä kuvaa samankeskisen ympyrän sarjaa, jonka säde on tasaisesti laskeva, mikä tekee siitä onton kartion, jolla on avoin pohja.

= symboli ympyrän yhtälössä kanssa tekee siitä joukon kaikkia ympyrän sisällä tai sisällä olevia pisteitä, mikä tekee siitä kiinteän kartion.

Vastaus

Johdin tämän itse. Katso, löytyykö muualta parempia ratkaisuja.

Tämä on kartiomainen muoto, joka ulottuu pitkin z-akselia ja sen läpi.

x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 \ cdot z ^ 2

Tämä on helppo ymmärtää, koska säteen tulisi kasvaa lineaarisesti, kun z-komponentti muuttuu kartiomaiseksi muodoksi.

Tässä tapauksessa r = a \ cdot zr \ propto z

a määrittää kartion kaltevan pinnan kaltevuuden. Jos kärjen kulma on 2 \ mathrm {\ theta}, niin a = \ mathrm {tan} (\ mathrm {\ theta})

Päivitys 1: Jos haluat kartion, jonka säde on r, akselin pituus h on tietty kärki \ mathrm {(x\_0, y\_0, z\_0)} ja sen akseli on yhdensuuntainen z-akselin kanssa.

Tällöin yhtälö on (x-x\_0) ^ 2 + (y -y\_0) ^ 2 = a ^ 2 \ cdot (z-z\_0) ^ 2 rajoituksella 0 \ le z\_0-z \ le h Huomaa, että tämä antaa kartion, jonka kärki osoittaa ylöspäin; muuta toisen kartion kohdalla rajoitukseksi 0 \ le z-z\_0 \ le h.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *