Paras vastaus
Jos emme halua käyttää trigonometrisiä taulukoita, voimme saada likimääräisen arvon \ tan 27 ^ o käyttämällä Taylorin laajennusta \ tan x.
Todellisen tai kompleksisen arvon funktion f (x) Taylor-sarjan, joka on äärettömän erilainen todellisella tai kompleksisella luvulla a, antaa
f (x) = \ summa \ rajoitukset\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, missä f ^ {(n)} (a) on n ^ {th} -johdannaisen arvo kohdassa x = a.
Huomaa, että kulma on ilmaistava radiaaneina.
Anna f (x) = \ tan x ja a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} radiaania.
\ Rightarrow \ qquad f ”(a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ vasen (\ frac {\ pi} {6} \ oikea) = \ frac {4} {3}, ja
\ qquad f ”” (a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ vasen (\ frac {\ pi} {6} \ oikea) \ tan \ vasen (\ frac {\ pi} {6} \ oikea) = \ frac {4} { 3} \ kertaa \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
Haluamme arvon \ tan 27 ^ o = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} – \ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa = – \ frac {\ pi} {60}.
Sitten käyttämällä vain Taylor-sarjan kahta ensimmäistä termiä saadaan ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f ”(a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ oikea) – \ frac {\ pi} {60} \ kertaa \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1 } {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} = 0,507537.
Tämän arvon virhe on -0,3902 \\%.
Vain kolmen ensimmäisen termin käyttö Taylor-sarjasta saamme:
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f ”(a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f ”” (a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ vasen (\ frac {\ pi} {6} \ oikea) – \ frac {\ pi } {60} \ kertaa \ frac {4} {3} + \ vasen (\ frac {\ pi} {60} \ oikea) ^ 2 \ kertaa \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ kertaa \ frac { 1} {2}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1} {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0,508592.
Tämän arvon virhe on -0,1831 \\%.
Jos haluamme suurempaa tarkkuutta, voimme käyttää enemmän termejä.