Paras vastaus
Sähkömagneettisessa säteilyssä (radiometriassa) se on valaistuksen pitoisuus tai aallonpituuden funktio (radiometrinen poistuminen).
Säteilyintensiteetti ja valovirta tai havaittu valovoima ovat esimerkkejä spektrijakaumasta.
Lähteen näkyvän spektrin spektritehojakaumalla voi olla vaihteleva suhteellisen SPD: n pitoisuus. Esimerkiksi auringon suhteellinen spektritehoteho tuottaa valkoisen ulkonäön, jos se havaitaan suoraan, mutta kun auringonvalo valaisee maapallon ilmakehän, taivas näyttää siniseltä normaalissa päivänvalossa.
SPD voidaan myös käytetään määrittämään anturin vaste määritetyllä aallonpituudella.
Toivottavasti pidit tästä vastauksesta! Äänestä ja seuraa minua 🙂
Vastaa
Ehkä se on hyödyllistä tarkastella ensin seuraavaa petollisesti elementaarista kysymystä:
Kysymys: Mitä on diagonalisoitavien matriisien kvalitatiivinen, ei-algebrallinen ominaisuus, joka erottaa ne diagonalisoimattomista matriiseista? (Unohda, tekeekö diagonalisaatio toistaiseksi yhtenäinen.)
Yksi vastaus tämä mykistetty kysymys alkaa havaitsemalla, että diagonaalimatriiseilla on seuraavat
diagonalisoitavien matriisien polynomiominaisuudet: Jos A on diagonalisoitava matriisi ja P on todellinen polynomi, P (A) riippuu vain P: n arvoista P (lamda) A: n ominaisarvoista lamdassa.
Tässä käytämme
Määritelmä polynomin soveltamisesta matriisiin: Jos P (x) on polynomi
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2 + .. . Cn X ^ n
ja A on matriisi, määritämme sitten
P (A) = C0 I + C1 A + C2 A ^ 2 + …
missä olen identiteettimatriisi ja missä eksponentit muodostetaan matriisikertomalla.
Voit todistaa tämän diagonalisoituvien matriisien tämän polynomiominaisuuden diagonalisoimalla A ja katsomalla mitä tapahtuu, kun otat diagonaalimatriisin polynomi.
Diagonalisoitavalle matriisille voidaan laajentaa käsitystä funktioiden soveltamisesta matriiseihin polynomeista mielivaltaisiin fu toiminnot käyttämällä seuraavaa
Määritelmää (funktionaalinen laskenta diagonalisoitaville matriiseille, inelegantti muoto): Olkoon A diagonalisoitava matriisi ja olkoon f A: n ominaisarvojen todellinen tai kompleksiarvoinen funktio. Sitten f (A) on matriisi
f (A) = M f (D) M ^ -1,
missä
A = MDM ^ -1
on A: n diagonalisaatio, diagonaalilla D ja M: llä käänteinen, ja missä f (D) muodostetaan korvaamalla kukin D kirjoittanut f (lamda).
Esimerkki: Olkoon f (x) = x ^ (1/3) kuutio-juuri ja olkoon A diagonalisoitava matriisi. Silloin C = f (A) on itse asiassa A: n kuutiojuuri: C ^ 3 = A.
Esimerkki: Jos A on ei-yksisuuntainen ja diagonalisoitavissa ja f (x) = 1 / x, f (A) on A: n käänteinen matriisi.
Esimerkki: Jos A on diagonalisoitavissa ja f (x) = exp (x), niin f (A) on A: n matriisieksponentti, jonka antaa tavallinen Taylor-sarja:
exp (A) = I + A + A ^ 2/2 + A ^ 3/3! + …. määritellä f (A) uudelleen diagonaalille A seuraavassa muodossa:
Vaihtoehtoinen määritelmä (funktionaalinen laskenta diagonaalisille matriiseille, parempi muoto): Olkoon A diagonaalimatriisi ja olkoon f A: n ominaisarvojen todellinen tai kompleksiarvoinen funktio. Sitten f (A) = P (A), missä P on polynomi, joka on valittu siten, että f (lamda) = P (lamda) kullekin A: n ominaisarvolamdalle.
Erityisesti matriisia ei tarvitse diagonalisoida matriisin funktion f (A) laskemiseksi: f: n interpolointi A antaa polynomin, joka riittää laskemaan f (A): n.
Mitä tapahtuu, jos A ei ole diagonalisoitavissa? No, jos käsittelemme kompleksilukuja, niin Jordanian normaalimuoto sanoo, että sopivan perustan valinnalla tällainen matriisi voidaan kirjoittaa lohkona-diagonaalimatriisiksi, Jordan Blocksin suoran summan Jn kuten
J2 = a 1 0 a.
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
jossa Jn on ahdistumatriisi, jossa on jokin kompleksiluku a diagonaalissa ja 1 ”: n ketju diagonaalin yläpuolella. Huomaa, että Mn: llä on kussakin tapauksessa yksi ominaisarvo a moninkertaisesti n.
Mikään näistä Jordan-lohkoista ei ole diagonalisoitavissa, koska seuraava lause sanoo, että Jordan Blocks ei jaa polynomiominaisuutta diagonaalimatriiseille :
Lause: (Polynomien toiminta Jordan-lohkoissa) Olkoon P a polynomi ja olkoon Jn edellä olevan muodon nxn Jordan-lohko. Sitten P (J) riippuu vain P (a): sta ja sen ensimmäisistä n johdannaisista kohdassa a. IE
P (J2) = P (a) P ”(a) 0 P (a)
P (J3) = P (a) P ”(a) P” ”(a) / 2 0 P (a) P” (a) 0 0 P (a)
P (J4) = P (a) P ”(a) P” ”(a) / 2! P” ”(a) / 3! 0 P (a) P ”(a) P” ”(a) / 2! 0 0 P (a ) P ”(a) 0 0 0 P (a)
ja niin edelleen.
Yllä oleva lause voidaan vahvistaa tarkistamalla, että siinä on monomeja, ja laajentamalla sitten polynomeihin, jotka ovat vain lineaarisia yhdistelmiä.
Jos haluat nähdä, miten tämä liittyy matriisien laskentatoimintoihin, ota huomioon seuraava ongelma, joka soveltaa kuutio-juurifunktiota matriiseihin:
Ongelma (matriisien kuutiojuuret): Olkoon A yksikielinen mxm-todellinen tai monimutkainen matriisi. Etsi kuutiojuuri C = A ^ (1/3) A: sta, se on matriisi C siten, että A = C ^ 3.
Annamme kaksi ratkaisua: Ensimmäiseen liittyy nimenomaisesti Jordan-muodon laskeminen matriisi A, ja toinen käyttää vain Jordan-muodon olemassaoloa ilman nimenomaista laskentaa.
Ratkaisu 1: Jordan-muodon mukaan , voimme hajottaa matriisin A Jordan-lohkoiksi Jn valitsemalla perustan, joten rajoitamme tarkastelun tapaukseen, jossa A = Jn joillekin n: lle. Esimerkiksi jollekin kompleksiluvulle a
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
Nyt ei ole vaikea osoittaa, että polynomi on olemassa
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2
siten, että J3: n ominaisarvolla a on
P (a) = a ^ (1/3) P ”(a) = 1/3 (a ^ (1/3)) ^ (-2) P” ”(a) = -2/9 (a ^ (1/3)) ^ ( -5)
(Koska oletetaan, ettei yksikään ominaisarvo ole 0, mikään ei ole ääretön.)
(IE P on funktio x -> x ^ 1/3 sekuntiin saakka johdannainen pisteessä x = a. Monimutkaisessa tapauksessa ^ 1/3: n määritelmässä on jonkin verran epäselvyyttä, joten olen kirjoittanut ^ (- 2/3) = (a ^ (1/3)) ^ ( -2) huolehtia tästä, eli samaa kuutiojuuria käytetään kaikissa kolmessa kaavassa.) Itse asiassa
P (X) = (5 a ^ (1/3) + 5 a ^ (-2/3) x – a ^ (- 5/3) x ^ 2) / 9,
vaikka meidän ei todellakaan tarvinnut laskea P: tä, koska P: n (J3) yleisestä kaavasta yllä olevassa lauseessa
P (J3) = a ^ 1/3 1/3 a ^ (- 2/3) -2/9 a ^ (- 5/3) 0 a ^ (1 / 3) 1/3 a ^ (- 2/3) 0 0 a ^ (1/3)
Tämä on juuri haluamasi J3: n kuutiojuuri!
C = P (J 3).
Jos haluat nähdä tämän muistiinpanon,
C ^ 3 = (P (J3)) ^ 3 = (P ^ 3) (J3) = R (J3),
jossa R (x) on tyydyttävä polynomi
R (x) = (P (x)) ^ 3.
R: n tärkeä ominaisuus on, että piste x = a, polynomi R = P ^ 3 vastaa identiteettifunktiota x -> x järjestyksen 2 johdannaisiin asti
R (a) = a R ”(a) = 1 R” ”(a) = 0,
niin että Jordan-lohkoon käytetyn polynomin yleisen kaavan mukaan
C ^ 3 = R (J3) = R (a) R ”(a) R ”” (a) / 2 = a 1 0 = J3, 0 R (a) R ”(a) = 0 a 1 0 0 R (a) = 0 0 a
haluamallasi tavalla.
Ratkaisu 2: Jos A on mxm-matriisi, etsi polynomi P (x) siten, että A: n jokaisella ominaisarvolla x = a polynomi ja sen johdannaiset järjestyksessä m-1 vastaavat haluttua funktiota x -> x ^ 1/3. Sitten C = P (A) on A: n haluttu kuutiojuuri.
Huomaa, että ratkaisu 2 toimii, koska kaikki A: n Jordan-lohkot ovat kooltaan pienempiä kuin n, ja ratkaisun 1 avulla polynomi P korvaa jokaisen jordanilohkon sen kuutiojuurella. Koska emme vaivautuneet laskemaan nimenomaisesti A: n Jordan-muotoa, käyttämämme polynomi P voi olla tarpeettoman korkea, koska emme tienneet Jordanin ketjujen pituutta. Polynomien interpolointi ei kuitenkaan todennäköisesti ollut yhtä paljon työtä kuin Jordan-muodon laskeminen. (Lisäksi tällä tavoin vältimme Jordanian muotoon liittyviä numeerisia epävakaisuuksia ja degeneroimme ominaisarvoja.)
Esimerkki kuutiosta juuri kutsuu seuraavan määritelmän:
Määritelmä (Dunfordin laskelman muunnos äärellisdimensiotapauksessa) : Olkoon A itsenäinen olkoon f todellinen tai monimutkainen funktio, jonka toimialue sisältää A: n ominaisarvot.
f (A) = P (A),
missä P (x) on polynomi siten, että kullekin ominaisarvolle x = a
P (a) = f (a) P ”(a) = f” (a) P ”” (a) = f ”” (a ) …………
jossa sovitettujen johdannaisten määrä on vähintään Jordan-lohkon suurimman 1 ”: n ketjun koko, joka vastaa ominaisarvoa a.
Voidaan varmistaa, että funktion x-> 1 / x soveltaminen matriisiin A on itse asiassa A: n tavallinen käänteismatriisi. Voidaan myös varmistaa, että eksponenttifunktion tai sinifunktio matriisiin A on sama kuin vastaavan Taylor-sarjan soveltaminen exp: lle tai sinille matriisiin A.
Käsite funktion soveltamisesta matriisiin kutsutaan ”funktionaaliseksi laskuksi”, joka siksi Dunford-laskinta kutsutaan ”laskuksi”.
Dunfordin laskennan määritelmässä on vakiona vaatia, että f: llä on monimutkaisia johdannaisia, ja yleensä yksi määritellään tämä käyttämällä Cauchyn integraalikaavaa ääretöntä ulottuvuutta koskevassa tapauksessa. Olen leikannut kaiken tämän läpi selittääkseen yksinkertaisen rajallisen ulottuvuuden tapauksen, ja olen sivuuttanut selittämisen, mikä on funktion derivaatti kompleksiluvuista kompleksilukuihin. (Onneksi funktio x-> x ^ (1/3) on äärettömän erilainen ei-nollatodellisuudessa.) Tässä voi olla joitain hienovaraisuuksia, mutta yritän antaa nopean yleiskuvan käsitteistä.
Siksi on ilmeistä, että jossakin mielessä Jordan-muoto on lähinnä Dunfordin laskenta ja spektrilause on toiminnallinen laskenta itsenäisten operaattoreiden kannalta. (Jälkimmäinen on näkökulma, jonka Reed & Simon ovat ottaneet mukaan ”Methods of Matemaattinen fysiikka I: Funktionaalinen analyysi. Tämä keskustelu on vain rajallinen, mutta Reed ja Simon pitävät ääretöntä ulottuvuutta.)
Kaiken tämän takana on, että diagonalisoituvuus liittyy käsitteisiin ottamisesta matriisien toiminnot. Tätä kutsutaan funktionaaliseksi laskelmaksi, ja funktionaalisia laskelmia on useita.
Nyt itsesovittuvuus on hieman syvempi, koska se merkitsee yhtenäistä diagonalisoitavuutta, ei vain diagonalisoitavuutta. Eigensavaruudesta tulee kohtisuoraa. En ole ajatellut hyvää tapaa selittää, mikä on tässä intuitiivisesti ratkaisevaa. Kvanttimekaniikassa ortogonaaliset eigensatilat ovat kuitenkin täysin erotettavissa, ja itseliittymisestä tulee luonnollinen tila. Vetyatomin spektri on vain Hamiltonin operaattorin ominaisarvot.
Minun käsitykseni on käsittää intuitiivisen selityksen siitä, miksi kvanttimekaniikka liittyy tällaiseen matematiikkaan.