Paras vastaus
Yksinkertaisesti sanottuna Invariantti on ominaisuus, joka ei muutu edes muutoksen tai minkä tahansa matemaattisen operaation jälkeen. Erittäin hyvä esimerkki on Wikipedia-
Otetaan esimerkiksi Newtonin painovoimalaista. Kahden ruumiin välinen painovoima on sama kaikkialla maailmankaikkeudessa. Näiden kahden ruumiin välinen painovoima on tänään sama kuin tuhat vuotta sitten. Riippumatta suunnasta, johon siirrät näitä kappaleita, voima on sama. Tämä on esimerkki invariantista.
Stressi-invariantit ovat jännitysmatriisin ominaisuuksia, joihin muutos ei vaikuta. Stressitilaa voidaan edustaa matriisina. Tämän matriisin hydrostaattinen jännityskomponentti olisi yhtä suuri kuin matriisin diagonaalitermien keskiarvo (pääjännitykset). Näiden diagonaalisten termien yhteenlaskemista kutsutaan ensimmäiseksi muuttujaksi (kutsutaan myös matriisin jäljiksi).
Joten voimme jakaa matriisitilan hydrostaattisen ja deviaattisen summan korostaa-
Eigen-arvojen ja Eigen-vektorien määrittämiseen käytämme yhtälöä | A – Lamda I | * V = 0. Vastaavasti käytämme jännitystilassa seuraavaa yhtälöä, joka on samanlainen kuin yllä oleva muoto-
nj = Ominaisvektori, Sigma = Ominaisuusarvo, delta ij = Identiteettimatriisia kutsutaan myös nimellä Kronecker-delta. Tämä identiteettimatriisi = 1 diagonaalien kohdalla, missä i = j ja on yhtä suuri kuin 0 kaikissa muissa paikoissa.
Nyt voimme luoda seuraavan muodon
Jos muistat oikein, tämä on jännitysmatriisin poikkeava komponentti. Alla olevasta ominaisyhtälöstä voimme nähdä, että muuttujat ovat ominaisyhtälön jännitystermien yhteisvaikutuksia.
Missä, I1, I2 ja I3 ovat jännitysmatriisin invariantit.
a. I1 on matriisin jälki ja diagonaalitermien summa. Ensimmäinen muuttuja.
b. I2 on matriisin alaikäisten summa. Toinen muuttuja.
c. I3 = Matriisin determinantin arvo. Kolmas muuttuja.
T nämä ovat kaikki invariantteja, koska matriisille suoritetusta muunnoksesta huolimatta nämä arvot pysyvät samoina.
Edellä olevissa vaiheissa muodostettiin poikkeava matriisi ja selvitimme, että se on J1, ja tämän J1 todettiin olevan yhtä suuri kuin 0. Kun J1 = 0, niin diagonaalisten termien summa = 0. Joten tämän keskiarvo (kutsutaan myös nimellä hydrostaattinen stressi = 0. Joten, poikkeavan komponentin hydrostaattinen jännitys on yhtä suuri kuin 0, mikä tarkoittaa, että se on PURE SHEAR -tilaa.
Deviatorinen stressi ja invariantit
Vastaus
Stressi esitetään yleensä toisen asteen symmetrisenä tensorina, jonka voidaan ajatella olevan 3 * 3 matriisi. Nyt missä tahansa tensorissa on jotain nimeltään invariantit, jotka eivät muutu perustan muuttuessa. Toista tai kertalukuista tensoria varten on kolme pääinstituuttia (jännitys, rasitus, hitausmomentti kuuluvat tähän). Nämä pysyvät samoina, vaikka b asis on muuttunut. Jotta ymmärtäisimme, mitä tarkoitamme perustan muutoksella, ajattele materiaalisen ongelman peruslujuutta, jossa yritämme löytää tuloksena olevat normaali- ja leikkausjännitykset tasolle, joka on kallistettu annettuihin koordinaattiakselijoukkoihin (meidän perusta). Voimme tehdä kaikki Mohrin ympyräasiat ja löytää jännityskomponentit uudelta pohjalta (uudet koordinaattiakselit, jotka ovat pituussuunnassa ja kohtisuorassa kaltevuuteen nähden). Joten jos tarkastelet jännitystensoria aikaisemmin ja nyt, se on muuttunut elementtittäin (molemmat ovat kuitenkin symmetrisiä), mutta seuraavat määrät pysyvät samana
- Matriisien jäljitys
- Matriisien kofaktorin jäljet
- Matriisien determinantti.
Nämä ovat kolme pääasiallista ”invarianttia”.