Paras vastaus
Rankin 2 kontravariantti tensori on symmetrinen, jos se on invariantti indeksiensä permutaation alla. Sen komponentit eivät muutu indeksien vaihdon yhteydessä ja täyttävät seuraavat vaatimukset:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
Vastaavasti rankin 2 kovariaattinen tensori on symmetrinen jos se on invariantti indeksiensa permutaation alla ja sen komponentit täyttävät seuraavat vaatimukset:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
Rankin 2 tensorit voidaan yleensä edustaa matriiseilla , joten tensorin symmetria liittyy olennaisesti sitä edustavan matriisin symmetriaan. Tiedetään, että jos symmetrisen (neliö) matriisin merkinnät ilmaistaan muodossa A = (a\_ {pq}), niin a\_ {pq} = a\_ {qp} kaikille indekseille p ja q. Symmetrinen matriisi on yhtä suuri kuin sen transponointi ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
Esimerkkejä toisen asteen symmetrisistä tensoreista ovat metrinen tensori g \_ {\ mu \ nu} tai Cauchyn jännitystensori ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}), joka voidaan kirjoittaa matriisimuodossa seuraavasti:
{\ displaystyle \ left [{\ begin {matriisi} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ loppu {matriisi}} \ oikea] \ equiv \ vasen [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ end {matrix}} \ right]}
Jos meillä on esimerkiksi korkeamman tason tensori muodossa
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
tensorin sanotaan olevan symmetrinen m: ssä ja p: ssä.
Tensori, joka on symmetrinen mihin tahansa kahteen kiistanalaiseen ja mihin tahansa kahden kovariaattisen indeksin sanotaan olevan symmetrisiä.
Tensoria kutsutaan vinosymmetriseksi tai anti-symmetriseksi, jos
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
Yleensä symmetrinen tensori on tensori, joka on invariantti vektoriargumenttiensa permutaation alla:
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
jokaisesta permutaatiosta σ symboleista {1, 2, …, r }. Vaihtoehtoisesti symmetrinen järjestys- tai sijoitusjännite r , joka on esitetty koordinaateina määränä r indeksit täyttävät
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Vastaus
Matriisit ovat suorakulmaisia taulukoita elementtejä jostakin kentästä (yleensä \ mathbb {R} tai \ mathbb {C}, mutta eivät aina), joilla on kertolasku toisen matriisin avulla ja kertolasku määritellyllä kenttäelementillä.
Matriiseja käytetään edustamaan suurta määrää erilaisia asioita:
- lineaaristen yhtälöiden kertoimia
- lineaariset muunnokset (tietyn järjestetyn perusvektorijoukon perusteella)
- vektoriavaruuksien perustan muutos (annettu kaksi järjestettyä perusvektorijoukkoa)
- tensorit (tarkalleen järjestys 2 tensorit)
- tietyt ryhmät
- jne.
Jotkut näistä käyttötavoista voivat sekoittua: annetaan ei-kielellinen neliömatriisi ilman kontekstia, sitä katsomatta on mahdotonta sanoa, edustako se lineaarista muunnosta (tai millä perusteella se on), perustan muutosta vai tensoria.
Lyhyesti sanottuna matriisit ovat hyvin yleisiä.
Tensorit ovat vektorien ja funktionaalien (kaksoisvektoreiden) monirivisiä funktionaalisia elementtejä. Toisin sanoen järjestys n + m tensori on n vektorin ja m kaksoisvektorin funktio, joka palauttaa todellisen tai kompleksiluvun ja on lineaarinen kaikissa argumenteissaan.
Tensorit rajallisissa ulottuvuuksissa vektoritiloissa voidaan esittää n + m-ulotteisella elementtiryhmällä vektoriavaruuden kentältä, ja järjestys 2 -tensoreille tämä esitetään usein matriisina. Kuten lineaaristen muunnosten matriisiesitys, tensorin moniulotteinen taulukkoesitys riippuu käytetystä perustasta.
Tensoreita kuvataan usein, käytetään ja joskus jopa määritelty kenttäelementtien moniulotteisilla matriiseilla, jollei tensorin muunnosrajoituksesta muuta johdu perusvektorien erilaisten muutosten suhteen. Mutta sydämessään he ovat monirivisiä funktionaalisia vektoreissa ja lineaarisia funktionaalisia.