Paras vastaus
Jos et uistele, oletan, että haluat tarkan \ sin 38: n arvon. (Miksi? Kuka tietää.) Kuvaan kuinka saavuttaa tarkka arvo. Käytämme kahta väitettä. Jos tiedämme \ sin x tarkan arvon, voimme laskea \ sin nx: n tarkan arvon kaikille kokonaisluvuille n. Lisäksi, jos tiedämme tarkan \ sin x -arvon, voimme laskea \ sin \ frac {x} {3} -arvon tarkan arvon.
Yllä oleva tarkoittaa, että jos löysimme \ sin 1, niin voimme löytää \ sin N mille tahansa kokonaisluvulle N.
Joten todistamme väitteet:
Väite 1 : Jos tiedämme tarkan \ sin x: n arvon, voimme löytää \ sin nx: n tarkan arvon positiiviselle kokonaisluvulle n. (Negatiiviset arvot seuraavat).
Todiste : Käytämme induktiota n: ssä. Väite on tietysti totta n = 1. Ennen kuin jatkat, huomaa, että \ sinxin tuntemus tarkoittaa \ cos x: n tuntemusta. Nyt \ sin (n + 1) x = \ sin (nx + x) = \ sin nx \ cos x + \ cos nx \ sin x ja olemme valmiit.
Väite 2 : Jos tiedämme \ sin x tarkan arvon, voimme löytää \ sin \ frac {x} {3} tarkan arvon.
Todiste : Tämä on mielenkiintoisempi. Anna argumentille \ sin \ frac {x} {3} = a. Nyt \ sin x = 3 \ sin \ frac {x} {3} −4 \ sin ^ 3 \ frac {x} {3} tai 4a ^ 3–3a + \ sin x = 0 missä tiedämme \ sin x. Koska tämä on kuutiometri, se voidaan ratkaista tarkasti.
Tunnemme \ sin 36 ja \ sin 30, joten tunnemme \ sin 6 ja siten \ sin 3 ja lopuksi \ sin 1.
Vastaus
19pi / 8 = 2pi + 3pi / 8
3pi / 8 = pi / 2-pi / 8
sin (3pi / 8 ) = sin (pi / 2-pi / 8) = cos (pi / 8)
pi / 12 = 2pi / 24 = pi / 8-pi / 24
pi / 8 = pi / 12 + pi / 24
cos (pi / 8) = cos (pi / 12) * cos (pi / 24) -sin (pi / 12) * sin (pi / 24)
pi / 24 = (pi / 12) / 2 = a
sin (pi / 12) = 0.2588 = sin (2 * pi / 24) = 2sin (a) cos (a)
cos (pi / 12) = sqrt (1-0,2588 ^ 2) = cos (a) ^ 2-sin (a) ^ 2 = 1-22 (a) ^ 2
sin (a) = sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = sin (pi / 24)
cos (a) = sqrt (1- (1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2) = cos (pi / 24)
cos (pi / 8) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) * sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^) 2)) / 2) -0,2588 * sqrt ((1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2)
S0 se menee.