Paras vastaus
Yksinkertainen…. 🙂
Käytämme tätä usein suorana tuloksena.
Vastaus
Valitettavasti Taylor-sarjaa tai lHopitalin sääntöihin perustuvia vastauksia ei voida luokitella tiukat todisteet, koska ne esittävät pyöreän argumentin: molemmat näistä menetelmistä edellyttävät funktion f (x) = \ sin (x) johdannaisen laskemista laskemiseksi, jonka meidän on tiedettävä, millainen raja on yhtä suuri. Toisin sanoen, kun etsimme A: ta, esitämme B: n, mutta B: n löytämiseksi meidän on tiedettävä, mikä on A.
Ei ole niin vaikeaa rakentaa riittävän tiukka todiste, joka läpäisee hyväksyttävän ” Matemaattinen analyysi ”-kurssi. Tässä on yksi versio: alla olevassa piirroksessa \ kolmio AOC on pyöreän sektorin OApC sisältämä tasakylkinen kolmio, joka puolestaan sisältyy suorakulmioon OAB. Viivasegmentti AB on kohtisuorassa säteeseen OA nähden:
Euclidin ”Elements” -kirja 3: n ehdotuksesta 16 seuraa että yllä olevien kohteiden neliöalueet on lajiteltu koon mukaan seuraavasti:
A \_ {\ kolmio OAC} \_ {OApC} \_ {\ kolmio OAB}
Tässä ehdotuksessa Euklidit (periaatteessa) todistavat, että on mahdotonta puristaa toista suoraa AB: n ja ympyrän q ympärysmitan välillä pisteessä A siten, että uusi suora asetetaan AB: n ja p: n väliin. Käänteisesti se tarkoittaa, että mikä tahansa suora joka leikkaa oikean kulman, OAB putoaa väistämättä ympyrän sisään – kuten viivan merkki AC tekee edellä. Seuraavaksi käyttämällä kolmion ja pyöreän sektorin pinta-alan kaavoja ja sitä, että kulma AOC mitataan radiaaneina, olemme :
\ frac {OA \ kertaa CH} {2} frac {\ alpha\_n \ kertaa r ^ 2} {2} frac {OA \ kertaa AB} {2}
r ^ 2 \ sin (\ alpha\_n) alpha\_n \ kertaa r ^ 2 ^ 2 \ times \ tan (\ alpha\_n)
\ sin (\ alpha\_n) alpha\_n tan (\ alpha\_n)
Ota huomioon vasemmanpuoleisin epätasa-arvo:
\ sin (\ alpha\_n) alpha\_n
kuten käytämme sitä myöhemmin. Seuraavaksi otamme sen, että 0 alpha\_n frac {\ pi} {2} ja joka antaa meille oikeuden jakaa viimeinen kaksinkertainen epätasa-arvo \ sin (\ alpha\_n):
1 frac {\ alpha\_n} {\ sin (\ alpha\_n)} frac {1} {\ cos (\ alpha\_n)}
Koska \ cos (x) on tasainen funktio ja f (x) = x ja \ sin (x) ovat molemmat parittomia, yllä olevan epätasa-arvon vastavuoroiset arvot ovat:
1> \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n}> \ cos (\ alpha\_n)
Kerro yllä olevat arvot -1: llä ja käännä eriarvoisuusmerkit:
-1 \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} \ cos (\ alpha\_n)
Lisää 1 yllä olevaan:
0 – \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} – \ cos (\ alpha\_n)
Mutta:
1 – \ cos (\ alpha\_n) = 2 \ sin ^ 2 (\ frac {\ alpha\_n} {2}) \ sin (\ frac {\ alpha\_n } {2}) \ frac {\ alpha\_n} {2} = \ alpha\_n
aiemmin osoittamamme ”vasemmanpuoleisen” epätasa-arvon vuoksi (katso yllä). Nyt:
1 – \ cos (\ alpha\_n) alpha\_n
ja se tarkoittaa, että:
0 – \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} alpha\_n
Koska oletimme aiemmin, että 0 alpha\_n frac {\ pi} {2}, voimme käyttää absoluuttisia arvoja yllä olevissa eriarvoisuuksissa:
| \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} -1 | \ alpha\_n |
joka noudattaa \ epsilon, \ delta -rajan määritelmää: mille tahansa \ epsilon> 0: lle valitsemme \ delta = min (\ epsilon, \ frac {\ pi} {2}) :
| \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} -1 | \ alpha\_n | = | \ alpha\_n – 0 | delta
Jos emme tutkisi ”jatkuvaa” muunnosta vaan erillistä sekvenssiä, niin asetamme \ alpha\_n = \ frac {\ pi} {2n} ja meillä on:
\ alpha\_n = \ frac {\ pi} {2n} delta \ leq \ epsilon
mistä:
n> \ frac {\ pi} {2 \ epsilon}
ja lopuksi:
\ forall \ epsilon> 0 \ quad \ olemassa N = \ frac {\ pi} {2 \ epsilon} \ quad: \ quad \ forall n > N \ quad | \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} – 1 | epsilon
Kummassakin tapauksessa se tarkoittaa seuraavaa:
\ lim\_ {x \ to 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = 1
Huomaa, että lisänä bonuksena tässä päättelyssä todistimme automaattisesti, että:
\ lim\_ {x \ – 0} \ cos (x) = 1
Ja alkaen aikaisemmin päätelty eriarvoisuus \ sin (\ alpha\_n) alpha\_n seuraa, että heti | \ alpha\_n – 0 | delta meillä on | \ sin (\ alpha\_n) – 0 | epsilon mikä tarkoittaa, että:
\ lim\_ {x \ to 0} \ sin (x) = 0
Mistä seuraa heti, että voimme laskea seuraavan rajan:
\ lim\_ {x \ to 0} \ tan (x) = 0
(jätetty harjoitukseksi lukijalle) jne.
Juhlimaan voitto, lasketaan seuraava raja, jolla on kaikki tekemistä tämän kysymyksen toimivaan lausekkeeseen:
\ lim\_ {n \ to + \ infty} \ prod\_ {k = 1} ^ n \ cos ( \ frac {\ phi} {2 ^ k})
missä \ phi on mielivaltainen nollasta poikkeava (todellinen) luku.Kirjoita tuotteen ensimmäiset ehdot:
\ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac { \ phi} {2 ^ 3}) \ pisteet \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ n})
Aloita puolikulma-identiteetillä:
\ sin (\ phi) = 2 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ sin (\ frac {\ phi} {2})
Käytä sitä uudelleen \ sin (\ frac {\ phi} {2}):
\ sin (\ phi) = 2 ^ 2 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2 }) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 2})
Ja vielä kerran – syntiin (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}):
\ sin (\ phi) = 2 ^ 3 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 3})
Ja niin edelleen. Näemme, että n tällaisen korvaamisen jälkeen meillä on:
\ sin (\ phi) = 2 ^ n \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) \ pisteet \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ n}) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})
Siitä, mistä seuraa, että kosinien pitkä tuote voidaan esittää seuraavasti:
\ frac {\ sin (\ phi)} {2 ^ n \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})} = \ frac {\ sin (\ phi)} {\ phi} \ frac {\ frac {\ phi} {2 ^ n}} {\ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})}
Mutta tiedämme jo, mikä yllä oleva raja on, ja siten:
\ lim\_ {n \ to + \ infty} \ prod\_ {k = 1} ^ n \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ k}) = \ frac {\ sin (\ phi)} {\ phi}