Paras vastaus
Kuten monet ovat jo vastanneet oikein, äärettömyyden kosinilla ei ole arvoa. Mutta se on pahempaa. Se on niin huono kuin mahdollista voi olla.
Monimutkaiset funktiot
Trigonometriset funktiot, mukaan lukien kosini, ovat yleensä katsotaan funktioiksi, jotka ottavat reaalilukuja argumentteina, mutta ne voidaan laajentaa monimutkaisiksi funktioiksi. Voit tehdä tämän kosinille käyttämällä tätä tehosarjan määritelmää
\ cos z = 1- \ frac1 {2!} Z ^ 2 + \ frac1 {4!} Z ^ 4- \ frac1 {6! } z ^ 2 + \ frac1 {8!} z ^ 8- \ cdots \ tag * {}
Siten kosini määritetään koko kompleksitasolla \ mathbf C.
Laajentamalla funktiot monimutkaisiin argumentteihin, voit ymmärtää ne tavalla, jota et voi, kun käytetään vain todellisia argumentteja. Se on monimutkaisen analyysin vahvuus.
Laajennetut kompleksiluvut \ overline {\ mathbf C}
Harkitse paljon yksinkertaisempi funktio f (z) = 1 / z. Se on määritelty kaikille kompleksiluvuille paitsi z = 0. Sen arvo näyttää olevan ääretön arvolla z = 0, ja on olemassa tapa muodostaa tämä käsite. Laajenna kompleksilukuja yhdellä elementillä, nimeltään \ infty, jotta saat niin kutsutun suljetun kompleksitason tai Riemannin pallon, \ overline {\ mathbf C}. Tällöin voit määrittää 1/0 = \ infty ja 1 / \ infty = 0 siten, että tämä funktio f (z) = 1 / z määritetään kaikessa \ overline {\ mathbf C} -elementissä. Itse asiassa se antaa bijection \ overline {\ mathbf C} \ overline {\ mathbf C}.
Mitä tapahtuu, kun yrität tätä tangenttifunktiolla \ tan z? Joitakin hienoja asioita tapahtuu. Todellisilla numeroilla \ tan \ pi / 2 ei ole määritelty, \ overline {\ mathbf C} se on määritelty, ja itse asiassa \ tan \ pi / 2 = \ infty. \ Tan z: n singulariteetti z = \ pi / 2: lla on kuin 1 / z: n singulariteetti z = 0: lla.
Näillä kahdella toiminnolla, 1 / z ja \ tan z, on pylväät , eli ne saavat arvon \ infty. Funktiolla 1 / z on yksi napa kohdassa z = 0. Funktiolla \ tan z on äärettömän monta napaa, yksi kutakin z: n arvoa kohden, joka on yhtä suuri kuin \ pi / 2 plus integraali \ pi: n moninkertainen arvo. / \ infty
On aika palata \ cos \ infty.
Harkitse funktiota f (z) = \ cos (1 / z). \ Infty: n kosinin pyytäminen on sama kuin f (0), koska \ overline {\ mathbf C}: ssä 1/0 = \ infty. Toisin kuin yllä mainittujen funktioiden 1 / z ja \ tan z pylväillä, tällä funktiolla on niin kutsuttu olennainen singulariteetti. Mielivaltaisesti lähellä z = 0 funktio f (z) = \ cos (1 / z) saa kaikki kompleksiluvut äärettömän monta kertaa. Tämä tarkoittaa, että \ cos z: llä on olennainen singulariteetti z = \ infty. Se on niin huono kuin mahdollista voi olla.
Vastaa
Se ei ole yhtään mitään. Cos (ääretön) on määrittelemätön, koska sini-kosini ja tangentti sekä käänteiset (sekantti, kosekantti ja kotangentti) on johdettu yksikköympyrästä.
Kosini on x-akseli ja sini on y-akseli. Tämä luo suorakulmion. Yksikköympyrä on keskitetty lähtöpaikkaan. Ja että ”luotu” suorakulmio, jalkojen pituus on siitä, mistä ne ovat peräisin.
Esimerkiksi 390 astetta, sen liikkuminen useammin kuin kerran, ja kulma arvioidaan ikään kuin se vain meni 0 astetta siihen pisteeseen, joka on alle 360. Tämä on pohjimmiltaan vain moduuli.
Tätä voi ilmaista lauseke n mod 360 (tai tietojenkäsittelytieteelle n\% 360), missä n on kulma.
Joten ääretön mod 360: lle ei voi saada vastausta, koska ääretön nousee jatkuvasti. joten se voi teknisesti olla mitä tahansa. Ääretön ei ole numero, se on käsite. Käsite, jolla ei ole loppua. Joten äärettömyyden käyttäminen lukuna on vain arvon arvo, joka tavallaan aina kasvaa. Tämä yksinkertaistaa sitä hieman, koska se ei oikeastaan nouse, se on enemmän kuin olettaa, että loppu on, kun sitä ei ole, numeroluettelolla ei ole loppua. Sen arvo on rajaton. Siksi käytämme rajoja käsitellessäsi ääretöntä. Vaikka äärettömyys lukuna käyttää pohjimmiltaan rajoja, emme voi sanoa, että 1 / ääretön on nolla, koska äärettömyyden arvo nousee vain jatkuvasti, se ei kysy mihin se lähenee. Vaikka se lähenee nollaa, se ei koskaan ole nolla. Lähin nollasta koskaan oleva arvo on 1 – 0,999…, jonka vaikka sanotaankin, että 0,999… on yhtä suuri kuin 1, se ei ole. Loogisesti se ei ole eikä voi olla. Jos hyväksymme sen, voimme yhtä helposti sanoa, että 1 = 2, ja mikä tahansa n on mikä tahansa m (n = m).
Takaisin alkuperäiseen kysymykseen, jos tarkastellaan cos-käyrää (x), huomaat, että se värähtelee jatkuvasti ylöspäin ja alaspäin välillä 1-1. Joten kun se menee äärettömyyteen, se ei koskaan lähesty toisiaan, ja cos (ääretön) vaihtuu aina välillä 1 ja -1. Minkä tahansa arvon valitseminen näiden välillä ei ole ääretöntä, koska sen arvo kasvaa aina.
Joten lopuksi cos (ääretön) on määrittelemätön.