Paras vastaus
Voimme lähestyä tätä geometrisesti. Ratkaisuja on kolme, ne ovat: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 ° ja 1 / \_240 ° polaarisessa muodossa. Meidän on otettava huomioon kompleksilukujen toimialue. (En pysty tällä hetkellä toimittamaan kaavioita, joten pyydän anteeksi). Kynän ja paperin käyttäminen tätä vastausta luettaessa olisi erittäin hyödyllistä.
Huomaa: ”/ \_” tarkoittaa ”kulmaa”. Kulma mitataan vastapäivään positiivisen reaaliakselin (positiivinen x-akseli) suhteen. Myös 0 ° on sama kuin 360 °, 720 ° ja niin edelleen. Mikä tahansa kulma θ on sama kuin θ + 360 °.
Geometrisesti, jos edustamme yhtä monimutkaisella tasolla kuin 1 + 0i (1,0); tämä on yhtä suuri kuin 1 / \_ 0 ° tai 1 / \_360 ° polaarisessa muodossa. Voimme piirtää yksikköympyrän, jonka keskipiste on alkupäässä 0,0. Jakamalla 360 ° (tai 2π radiaani) yksikköympyrä 3 yhtä suureen osaan saadaan kolme vaadittua juurta.
Ensimmäinen juuri 1 / \_0 ° tai / \_360 °. [Jos teen 3 täydellistä kierrosta (360 °) (1,0): sta vastapäivään (kerrottuna itselläni kolmesti tai kuutiona), pääsen samaan pisteeseen: 1 / \_0 °. Huomaa myös: Jos teen 3 “ei kierrosta” (0 °). Saavun myös samaan pisteeseen!]
Kaksi muuta juurta:
- Alkaen 1 / \_0 °, jos teen 1/3 (kolmasosa tai 120 °) kierrosta vastapäivään (kerrottuna 1 / \_120 °), saavun 1 / \_120 °, joka on toinen juuri. Jos teen vielä kaksi 1/3 kierrosta sieltä, saavun taas 1 / \_360 ° eli 1 / \_ 0 °. (joten tein kolme 1/3 tai 120 ° kierrosta, tai tein kuutiota). Näin ollen 1 / \_120 ° kuutio on myös 1.
- Alkaen 1 / \_0 °, jos teen 2/3 (240 °) kierrosta, saavun 1 / \_240 °, joka on kolmas juuri, jos teen vielä 2/3 kierrosta, saavutan 1 / \_480 ° eli 1 / \_120 ° ja vielä yhden 2/3 kierrosta saavuttaen 1 / \_720 ° eli takaisin 1 / \_ \_0 °. joten tein kolme 2/3 tai 240 ° kierrosta, tai tein kuutiota). Siksi 1 / \_240 ° kuutio on myös 1.
Juuret ovat 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120 ) °. erotettu 120 ° tasaisesti yksikköympyrässä.
Voit muuntaa arvot suorakaiteen muotoisiksi ja nähdä, että vastaukset ovat samat kuin muiden antamat.
Yleensä saadaksesi n. juuri, jaamme yksikköympyrän n yhtä suureen osaan tai tasan toisistaan erillään olevaan kulmaan 360 / n °, ja juuret ovat ympyrän ulkorajalla. Joten, koska 360/5 = 72 °, ykseyden 5. juuret ovat: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.
Vastaa
Anna z such z ^ 3 = 1
avainaskelma, älä ota kuutiojuuria molemmilta puolilta, muuten menetät 2 juurta. Kirjoita yhtälö pikemminkin uudeksi:
z ^ 3–1 = 0
kerroin vasemmalle puolelle
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
z-1 = 0, z = 1
z ^ 2 + z + 1 = 0 on 2 monimutkaista juurta:
z = -0,5 + i * 0,5sqrt (3), z = -0,5-i * 0,5sqrt (3)