Miksi [matematiikka] \ operaattorin nimi {tr} (AB) = \ operaattorin nimi {tr} (BA) [/ matematiikka] on totta?


Paras vastaus

Määritelmä jäljitys matriisin diagonaalisten merkintöjen summa on helppo oppia ja helppo ymmärtää. Sillä ei kuitenkaan ole ”a (priori) mitään hienoa geometrista tai muuta tulkintaa — se näyttää vain laskentatyökalulta. Sen hyökkäys tästä näkökulmasta tarkoittaa periaatteessa, että olet juuttunut tosiasioiden, kuten tr (AB) = tr, laskennallisiin todisteisiin. (BA).

Ne eivät ole sinänsä ”t huonoja . Ne on helppo ymmärtää, ja varmasti mitä pitäisi näyttää, kun joku oppii aluksi lineaarisen algebran. Siellä on syvempi syy miksi tr (AB) = tr (BA), mutta se on melko abstrakti ja vaatii erityisesti tensorituotteen ymmärtämiseksi.

Harkitse vektorien lineaaristen operaattoreiden tilaa tila V takaisin itselleen. Jos valitsemme tietyn koordinaattijoukon, tällaiset operaattorit näyttävät neliömäisiltä matriiseilta. Pyrimme kuitenkin välttämään koordinaatit niin paljon kuin mahdollista.

Merkitään V ^ *: llä V: n kaksoisavaruutta, joka on lineaaristen funktionaalien tila V: llä – ts. sellainen, että jos liitämme vektorin v, \ lambda (v) on skalaari.

Jos sitten otetaan tensoritulos V ^ * \ otimes V, se on isomorfinen lineaaristen operaattoreiden V avaruudelle. \ oikeanpuoleinen V. Isomorfismi toimii näin: jos w \ in V, niin (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.

Voimme myös selvittää, kuinka sommittelu toimii tämän isomorfismin alla – -muistaa, että lineaaristen karttojen koostumus on sama asia kuin vastaavien matriisien kertominen.

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2

tästä syystä

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)

Miten jäljittääkö sisään? No, on luonnollinen kartta V ^ * \ otimes V: stä skalaarien kenttään, joka toimii näin: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Hämmästyttävää on, että jos työskentelet kaiken koordinaateissa, tämä on jälki.

Tämä osoittaa, että jälki on kaukana abstraktista laskentatyökalusta, mutta on itse asiassa lineaarisen algebran perustavanlaatuinen ja luonnollinen kartta. . Erityisesti yllä oleva analyysi antaa automaattisesti todistuksen siitä, että tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).

Mutta miksi vahvempi lause tr (AB) = tr ( BA) totta? Laske lasketaan molemmat.

tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ oikea) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)

Toisaalta:

tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)

Ah , joten AB vastaa pariliitosta \ lambda\_1, \ lambda\_2 ja v\_1, v\_2 yhdellä tavalla ja BA vastaa pariliitosta toisella tavalla, mutta kun otamme jäljen, ne muodostavat pariliitoksen uudelleen , ja siinä vaiheessa eroja ei enää ole.

Kaunis.

Vastaa

Todiste \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) on yksinkertainen laskelma:

\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =

= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).

En ole varma, vastaako tämä kysymyksen ”miksi” -osaan ”Kyllä,” Huomaa, että laskelma toimii, mutta miksi ? ”.

Ei ole usein mahdollista selittää miksi jokin on totta. Tässä on ehkä hyödyllistä havaita, että AB: lla ja BA: lla on tosiasiallisesti paljon enemmän kuin jäljellä: niillä on sama ominaispiirre polynomi .

Toinen hyödyllinen havainto on, että jos A tai B ovat ei-yksiköitä (kääntyviä), niin AB ja BA ovat samanlaisia ​​matriiseja yksinkertaisesti siksi, että

AB = B ^ {- 1} (BA ) B.

Samankaltaisilla matriiseilla on selvästi samat ominaisarvot, joten erityisesti niillä on sama jäljitys. Voimme väittää jatkuvuuden perusteella (kentillä, joilla on järkevää) päätellä, että sama pätee myös yksittäistapauksessa.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *