Paras vastaus
Määritelmä jäljitys matriisin diagonaalisten merkintöjen summa on helppo oppia ja helppo ymmärtää. Sillä ei kuitenkaan ole ”a (priori) mitään hienoa geometrista tai muuta tulkintaa — se näyttää vain laskentatyökalulta. Sen hyökkäys tästä näkökulmasta tarkoittaa periaatteessa, että olet juuttunut tosiasioiden, kuten tr (AB) = tr, laskennallisiin todisteisiin. (BA).
Ne eivät ole sinänsä ”t huonoja . Ne on helppo ymmärtää, ja varmasti mitä pitäisi näyttää, kun joku oppii aluksi lineaarisen algebran. Siellä on syvempi syy miksi tr (AB) = tr (BA), mutta se on melko abstrakti ja vaatii erityisesti tensorituotteen ymmärtämiseksi.
Harkitse vektorien lineaaristen operaattoreiden tilaa tila V takaisin itselleen. Jos valitsemme tietyn koordinaattijoukon, tällaiset operaattorit näyttävät neliömäisiltä matriiseilta. Pyrimme kuitenkin välttämään koordinaatit niin paljon kuin mahdollista.
Merkitään V ^ *: llä V: n kaksoisavaruutta, joka on lineaaristen funktionaalien tila V: llä – ts. sellainen, että jos liitämme vektorin v, \ lambda (v) on skalaari.
Jos sitten otetaan tensoritulos V ^ * \ otimes V, se on isomorfinen lineaaristen operaattoreiden V avaruudelle. \ oikeanpuoleinen V. Isomorfismi toimii näin: jos w \ in V, niin (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.
Voimme myös selvittää, kuinka sommittelu toimii tämän isomorfismin alla – -muistaa, että lineaaristen karttojen koostumus on sama asia kuin vastaavien matriisien kertominen.
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2
tästä syystä
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)
Miten jäljittääkö sisään? No, on luonnollinen kartta V ^ * \ otimes V: stä skalaarien kenttään, joka toimii näin: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Hämmästyttävää on, että jos työskentelet kaiken koordinaateissa, tämä on jälki.
Tämä osoittaa, että jälki on kaukana abstraktista laskentatyökalusta, mutta on itse asiassa lineaarisen algebran perustavanlaatuinen ja luonnollinen kartta. . Erityisesti yllä oleva analyysi antaa automaattisesti todistuksen siitä, että tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).
Mutta miksi vahvempi lause tr (AB) = tr ( BA) totta? Laske lasketaan molemmat.
tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ oikea) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)
Toisaalta:
tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)
Ah , joten AB vastaa pariliitosta \ lambda\_1, \ lambda\_2 ja v\_1, v\_2 yhdellä tavalla ja BA vastaa pariliitosta toisella tavalla, mutta kun otamme jäljen, ne muodostavat pariliitoksen uudelleen , ja siinä vaiheessa eroja ei enää ole.
Kaunis.
Vastaa
Todiste \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) on yksinkertainen laskelma:
\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =
= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).
En ole varma, vastaako tämä kysymyksen ”miksi” -osaan ”Kyllä,” Huomaa, että laskelma toimii, mutta miksi ? ”.
Ei ole usein mahdollista selittää miksi jokin on totta. Tässä on ehkä hyödyllistä havaita, että AB: lla ja BA: lla on tosiasiallisesti paljon enemmän kuin jäljellä: niillä on sama ominaispiirre polynomi .
Toinen hyödyllinen havainto on, että jos A tai B ovat ei-yksiköitä (kääntyviä), niin AB ja BA ovat samanlaisia matriiseja yksinkertaisesti siksi, että
AB = B ^ {- 1} (BA ) B.
Samankaltaisilla matriiseilla on selvästi samat ominaisarvot, joten erityisesti niillä on sama jäljitys. Voimme väittää jatkuvuuden perusteella (kentillä, joilla on järkevää) päätellä, että sama pätee myös yksittäistapauksessa.