Paras vastaus
Vain kun θ = 0.
On geometrisesti ilmeistä, että kaikilla θ välillä 0 ja π / 2, 2sinθ on säteittäisen mitan 2θ kaaren sointu pituus säteellä 1. Ja koska sointu on lyhyempi kuin kaari, kaikilla sellaisilla must on oltava sinθ <θ. Ja tietysti, jos θ> 1, niin sinθ . Lopuksi, sinθ <θ kaikilla positiivisilla θ merkitsee sinθ> θ kaikilla negatiivisilla θ.
Vaikka θ mitataan asteina, sinθ ei voi olla yhtä suuri kuin θ, ellei θ = 0, yksinkertaisesti siksi, että kaaren radiaanimitta θ astetta on πθ / 180, mikä on paljon pienempi kuin θ.
Vastaus
Mielestäni parempi kysymys on, voi \ cos \ theta on yhtä suuri kuin 2?
Luultavasti tiedät, että se ei voi, jos \ theta on kolmion kulma tasogeometriassa, koska suorakulmion hypotenuus on pidempi kuin jalkojen pituudet, ja viereinen jalka ei voi olla kaksinkertainen hypotenuusan pituuteen. Vastaavasti jos \ theta on mikä tahansa reaaliluku, koska \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Jos siis \ theta \ sisällä \ mathbb R, niin -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, siis \ cos \ theta ei voi olla 2.
Väitämme kuitenkin, että jos z \ in \ mathbb C, se on mahdollista arvolle \ cos z = 2. Kosinin monimutkainen analyyttinen määritelmä on todellakin \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, joten päätetään asteikon yhtälöön, johon toivottavasti useimmat meistä ovat tottuneet .
Haluamme ratkaista \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2. Kun w = e ^ {iz}, siitä tulee \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2 tai vastaavasti w ^ 2-4w + 1 = 0. Käytämme sitten asteikon kaavaa:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Koska w = e ^ {iz}, voimme sitten ottaa luonnollisen lokin, mutta meidän on oltava varovainen : aivan kuten a ^ 2 = b ^ 2 ei tarkoita a = b (se tarkoittaa vain a = \ pm b), e ^ a = e ^ b ei tarkoita a = b, se vain merkitsee a = b + 2 \ pi ik joillekin k \ sisään \ mathbb Z. Näin ollen
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ mathbb Z
Sitten kerrotaan yksinkertaisesti -i: llä saadaksesi z: n arvon:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
Voimme lopulta kirjoittaa ratkaisumme uudelleen ja huomata, että 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3} ja siten \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ sisään \ mathbb Z
\ Cos z: n käyttäytyminen monimutkaisena analyyttisenä toimintona jäljittelee trigonometristä funktiota todellisessa suunnassa ja hyperbolista kosinusta kuvitteellisessa suunnassa; itse asiassa saatat tietää, että \ cos (iz) = \ cosh z ja \ sin (iz) = i \ sinh z; ja näiden tosiseikkojen yhdistäminen kosinusummien kaavaan merkitsee \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y, x: n, y \ in \ mathbb R: n kanssa. Tämä tarjoaa vaihtoehtoisen tavan selvittää vastaus. Philip Lloydilla on hieno kaavio tästä: Philip Lloydin vastaus kysymykseen Miksi teta theta ei voi olla yhtä suuri kuin 2?