Paras vastaus
1. Numeroiden juuret.
Ala-asteella meille ilmoitettiin, että luvun neliöjuuri on itse asiassa kysymys. Mikä luku kerrotaan itsestään, niin monta kertaa numeron saamiseksi, on juuri. Esim. neliöjuuri 9 = 3, koska 3 × 3 = 9 neljäs juuri 16 = 2, koska 2 × 2 × 2 × 2 = 16 ja niin edelleen. Juurien luonne on kuitenkin perustavanlaatuisempi, koska sen sovellus laajensi numerojärjestelmää rationaalisesta todellisuuteen. Toisin sanoen, juurien etsimisen operaation käyttämiseksi oli tarpeen laajentaa numerojärjestelmää siten, että se on suljettu ”juurtumisen” toiminta lisäämällä irrationaaliluvut. Rationaaliluvut on suljettu luvuille +, -, ×, ÷, mutta ei Ö: lle. Esimerkiksi √2 ei voida ilmaista suhteena. Pythagorealaiset tiesivät tämän ja heidän piti yrittää ehtoollista se, koska se ei ole neliö, ha, ha, heidän maailmankatsomuksellaan.
2. Yhtälöjuuret
Luonteemme, jonka meille kerrottiin, oli, kun käyrä leikkaa x-akseli. Tämä voi tapahtua kerran, kaksi, kolme kertaa polynomista riippuen. Niiden laskemiseksi laadittiin säännöt, jotka me kaikki opimme. Sitten kysyttiin. Mitä tapahtuu, jos käyrä ei leikkaa x-akselia? Sitten meillä on ilmeisesti kuvitteellinen juuri ja tämä tapahtui, kun b ^ 2-4ac . Tämä edellytti, että toinen laajennus numerojärjestelmään oli tarvitaan. Joten keksittiin kompleksilukujärjestelmä, joka sisältäisi negatiivisten numeroiden juuret. Joten ”juurien” luonteena on ollut laajentaa numerojärjestelmää rationaalilukujen ulkopuolelle.
Vastaus
Luulen, että tarkoitat ”luonnollista” ”luonnollisen isomorfismin” merkityksessä. Jos jokin on ”luonnollista” tai ”kanonista”, se tarkoittaa karkeasti, että se ei ole minkään mielivaltaisen valinnan tulos. Se määräytyy luonnollisesti sen kontekstin mukaan.
Yksi ”luonnollisen” asian motivoivista esimerkeistä on isomorfismi äärellisen ulotteisen vektoriavaruuden V ja sen kaksoiskaksoisvektorin V ^ {\ vee \ vee} välillä. Isomorfismi vie v \ in V: stä E\_v \: ään V ^ {\ vee \ vee}, jossa E\_v (\ phi) = \ phi (v) \ phi \ varten V ^ \ vee. Lähetät vektorin v kartalle E\_v, joka arvioi kaksoisvektorit kohdassa v. Tämä on luonnollista; mielivaltaisia valintoja ei tehty, se vain putosi suoraan mukana olevien esineiden määritelmistä ja suhteista.
Näiden kahden tilan tai kurssin välillä on muita isomorfismeja, mutta tämä on ”oikea valinta”. Mikä tahansa muu valinta olisi luonnoton; esimerkiksi voit lähettää v E: lle {A (v)}, jossa A: V \ V: lle on jokin mielivaltainen lineaarinen V-automorfismi. Mutta … miksi? A: n käyttöönotolle ei ole mitään syytä, koska sinulla on luonnollinen valinta v \ mapsto E\_v aivan edessäsi. Toivottavasti ero ”luonnollisen” ja ”luonnottoman” isomorfismin välillä on riittävän selkeä.
Toisaalta ei ole luonnollista isomorfismia L: V \ – V ^ \ vee. Isomorfismin rakentaminen vaatii mielivaltaisia valintoja. Voisin valita perustan b\_1, \ pisteet, b\_n ja julistaa L (b\_i) kaksoisvektoriksi, joka vie b\_i arvoksi 1 ja kaikki muut perusvektorit arvoksi 0. Tämä määrittelee täysin hienon isomorfismin, mutta voisin tehdä täsmälleen saman mikä tahansa muu perusta ja saada erilainen, yhtä pätevä isomorfismi. Ei ole tapaa valita sellaista luonnollisella, Jumalan antamalla * tavalla.
Tämä on hyvin karkea, epävirallinen kuvaus. Luokateoria voi (ja täsmentää) sen: funktorit ja luonnolliset muunnokset tarjoavat oikean tavan ajatella, mikä tekee jostakin ”luonnollisesta” jossain tilanteessa. Olen tehnyt parhaani välittääkseni oman käsitykseni oman intuition, mikä mielestäni riittää, kunnes joku on valmis (cate) upeisiin yksityiskohtiin.
* Matematiikan teologia / ontologia huolimatta