Paras vastaus
Spinori on vain vektori, joka käyttäytyy eri tavalla kiertojen ja tiettyjen muiden muunnosten alla .
Mielestäni on paljon helpompaa ajatella spinoreja kuin puhua yleisesti, kun sinulla on konkreettinen matemaattinen esimerkki. Tämä vastaus tekee juuri sen. Ei oleteta matemaattista tietoa, joka olisi pidempi kuin johdanto-osainen algebra.
Teknisempi esittely löytyy kohdasta Steanen erinomainen aloituspaperi aiheesta, jossa on kattavampi käsittely: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Kaikki alla olevat kuvat ovat hänen. Jos saan väärin, kommentoi rohkeasti.
Mitä Spinorit ovat
Sanoin edellä, että spinorit olivat vain vektorit. Mitä se tarkoittaa? Se tarkoittaa, että niillä on kaikki vektorien ominaisuudet:
- ne voidaan lisätä yhteen,
- kerrottuna vakio (jota kutsutaan myös skalaariksi ),
- on olemassa sellainen asia kuin ”nolla” spinori,
- ja jokaisella spinorilla on käänteinen spinor.
Voit mennä eteenpäin ja lisää monimutkaisempia vaatimuksia:
- Kahdella spinorilla voi olla hyvin määritelty sisäinen tuote, kuten vektorivälit.
- Spinorilla voi olla mielekäs pituus, aivan kuten muut vektoritilat.
ja niin edelleen.
Tietoja vain vaatimus spinorille, joka tekee siitä vektorista eroaa se, että sen kiertäminen yrittää ei anna odotettua tulosta – pyöritä 360 astetta ei anna sinulle samaa spinoria, mutta pyörivä 180 astetta. Yleisemmin kulman \ theta kierto edellyttää kiertomatriisin käyttämistä kulmassa \ theta / 2!
Tässä mielessä tässä on yksinkertainen spinori, joka voidaan kuvitella tavallisessa kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa ja jolla on kaikki yllä luetellut ominaisuudet. Tämä on yksinkertaisin spineri, joka on fyysikoille tutuin.
Tässä on täysin kelvollinen matemaattinen kuvaus yllä olevasta spinistä:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
Hei ensimmäiselle spinorillesi!
Ajattelu spinoreista: varoitus
Ennen kuin jatkan, huomaa jotain: euklidinen tila, kuten mainitsin, on kolmiulotteinen – silti tarvitsen vain kaksi komponenttia edustamaan spinoriani! Miten tämä voi olla? Eikö kaikilla vektoreilla tarvitse olla sama määrä komponentteja kuin niiden käyttämän tilan mitat?
Ristiriita voidaan ratkaista yhdellä lauseella: spinorit eivät asu euklidisessa avaruudessa – ne voivat vastata euklidisen avaruuden esineitä, ja heille tehdyt asiat voidaan saada vastaamaan euklidisessa avaruudessa tehtyjä asioita, mutta se ei ole heidän kotinsa.
Totuus on, että spinorilla ei ole kahta komponenttia, kuten sanoin yllä (tässä vaiheessa olet todennäköisesti silmänräpäyksessä näytöllä ja vannoen hengityksesi alla) ). Spinorilla ei ole samaa suuntaa kuin vektorilla vektoritilassa, johon olemme sijoittaneet – sen avulla voit mallintaa esineitä tavallisessa vektoritilassa, kuten minulla on täällä, mutta todellisen spinorin määrittelee enemmän parametreja kuin tavallisessa vektorissa tällaisessa tilassa.
Yksinkertaisesti sanottuna , jossa tavallisen vektorin orientaatio määritettäisiin vain r, \ theta, \ phi, spinorin suuntauksen määrittävät r, \ theta, \ phi, \ alpha ja sen merkki (oletettu positiiviseksi yllä olevassa esimerkissä) – oikein sanottuna kolmiulotteinen vektoritila voidaan esittää nelitahoisella spinor (koska merkki voi ottaa vain kaksi arvoa, sitä voidaan pitää myös ulottuvuutena, mutta se olisi melko tarpeetonta).
Voit kirjoittaa tämän spinorin joko vektorina, jossa on neljä komponenttia , yksi jokaiselle parametrille, kerrottuna merkillä – tai voit käyttää temppua, kuten Olen tehnyt, ja teeskentelen , että spinorilla on monimutkaisia komponentteja, minkä ansiosta voimme kirjoittaa kauniisti samat spinor, jolla on yllä oleva kuva kahdella koordinaatilla.Siksi spinorillani näyttää olevan kaksi komponenttia, kun sillä todella on neljä parametria ja siihen liittyvä ulottuvuus, kolmiulotteisessa vektoriavaruudessa: koska spinorimme ovat olemassa omassa monimutkaisessa tilassaan, ei kolmiulotteisessa vektoriavaruudessa.
Joten, ennen kuin jatkan, muista : Spinoreilla on oltava vain sama spatiaalinen ulottuvuus (ts. parametrit, joita tarvitaan sen orientaation määrittämiseen avaruudessa), mutta niiden ei tarvitse olla ainoat parametrit, jotka määrittelevät sen. Tässä tapauksessa käsittelen spinorin komponentteja kompleksiarvoisina, minkä vuoksi voin kirjoittaa sen niin ytimekkäästi kaksikomponenttisessa sarakevektorissa – mutta spinoreilla voi olla ja on enemmän parametreja, minkä vuoksi ne ovat melko hankalia työskennellä jonkun kanssa.
Oikeassa elämässä suosittelen voimakkaasti , että muista, että spinorit eivät ”t elää rinnalla – ne, kuten kaikki muutkin fysiikan asiat, ovat matemaattisia abstraktioita , jotka tekevät elämästä helpompaa työskennellä. Kaikki mitä todellakin tapahtuu kolmiulotteisille esineille – mutta voimme mallintaa ne spinorien avulla ja tehdä matematiikasta mukavampaa, minkä vuoksi teemme sen.
aja tämä piste kotiin, ota huomioon seuraava kaavio:
Huomaa miten lippukulman läsnäolo vaikeuttaa yhtä yksinkertaisia asioita kuin kiertäminen ja mikä on ortogonaalisuutta. Se on ylimääräinen parametri , ja se tekee kaiken eron.
Spinorin tämän parittoman mittasuhteen aiheuttamien ongelmien takia et voi ”käyttää vain tavallista kiertomatriisia kahdessa ulottuvuudessa tunnemme parhaiten, nimittäin läsnäoleva \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} kaikille kulma. Tämä olisi oikein kaksidimensionaalisen vektorin kohdalla, mutta yksinkertaisimmatkin spinorit eivät ole eivät , koska olen viettänyt pituuksia huomauttaa, kaksiulotteinen. Et myöskään voi käyttää tavallisia kolmiulotteisia matriiseja – voit varmasti kääntää kierron vaikutuksen näihin kavereihin, mutta se ei ole oikein suoraan kerro spinori heidän kanssaan, koska ne eivät kuulu samaan tilaan.
Spinorien kiertäminen
kierto kunkin akselin ympäri annetaan sen omalla erityisellä kiertomatriisilla, joka on määritelty täysin erilainen tila , jossa spinorit todella elävät (euklidisen avaruuden sijasta). Merkitään ”s” kiertomatriisit kulmalla \ theta x, y, z suuntiin kuten R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Sitten ,
R\_ {x} = \ aloita {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} ja \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begin {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Tässä on hauska osa: huomaatko kuinka kaikki nämä kiertomatriisit käyttävät puolikulmaa \ frac {\ theta} {2} kiertämällä kulmaa \ theta?
Se on totta! Tämä kulman kaksinkertaistamisilmiö on spinorien tunnusmerkki: voit jopa todistaa, että spinorin kertominen näillä puolikulmaisilla matriiseilla vastaa spatiaalisen osan kiertämistä täyskulma.
Ja se ”kirjaimellisesti se : kaikki mitä tarvitset tietää spinoreista – että ne ovat vektoreita, jotka elävät omassa erityisessä tilassaan ja joilla on omat erityiset pyörimismatriisit – peitetty yhdessä Quora-vastauksessa. Olen tietysti rajoittanut huomiotani yksinkertaisimpiin spinoreihin, mutta olennainen ominaisuudet ovat kaikki esillä. Jos haluat kaivaa lisää, ota yhteyttä Steaneen (linkitetty yllä).
Miksi välittäjät välittävät
Spinoreilla on merkitystä, koska käy ilmi, että he pystyvät kuvaamaan koko käyttäytyminen, jota odotetaan subatomisilta hiukkasilta. Erityisesti hiukkasilla on sisäinen kulmamomentti, ominaisuus, jota kutsumme pyörimiseksi (katso Brian Bi: n vastaus kysymykseen Onko subatomisten hiukkasten pyöriessä todella kulmamomenttia (ts. onko hiukkanen * pyörii *)? täydellisen kuvauksen saamiseksi).Mallintamalla hiukkasia spinoreina eikä tavallisina vektoreina pystymme kuvaamaan onnistuneesti vuorovaikutusta, jota odotamme tältä spiniltä, sekä tarjoamaan täydellisen kuvauksen hiukkasten käyttäytymisestä – spinorit muodostavat todellakin perustan Dirac-yhtälölle, joka korvaa Schrodingerin yhtälön tarjota erityis-suhteellisuussuhteisiin sopiva aaltoyhtälö ja muodostaa puolestaan perustan kvanttikenttäteorialle (kvanttimekaniikan laajennus voimien kuvaamiseksi).
Vastaus
Spinorit ovat geometrisia objekteja, jotka olemassa todellisissa vektoritiloissa asumisessa (toisin kuin monimutkaiset tai kvaternioniset vektoritilat).
Joten taaksepäin vektori on esine, joka on avaruudessa ja jonka sanotaan osoittavan tiettyyn suuntaan. Tämä tarkoittaa sitä, että jos käännät akseleitasi, komponenttivektori muuttuu samalla tavalla.
Vektorilla on ominaisuus, että jos käännät niitä 360 ”, saat saman objektin takaisin.
On monia geometrisia objekteja, jotka voidaan rakentaa vektoreista. Esimerkiksi Voit ottaa kaksi vektoria ja kertoa ne yhteen tensoreiden saamiseksi. Erityisesti hitausjännitemomentti on yksi niistä. Tensoreilla on ominaisuus, että jos käännät niitä 360 ”/ N, saat saman objektin takaisin ja jos kiertämällä niitä 360 ”saat aina takaisin samaan objektiin.
Tiloissa, joissa on ortogonaalinen symmetriaryhmä (luonnollisissa todellisissa vektoritiloissa), on myös muita geometrisia objekteja, jotka ovat ei koostu vektoreista. Yksi tapa nähdä tämä on se, että jos kiertät niitä 360 °: lla, ”et saa takaisin samaa esinettä, sen sijaan päädyt -1 kertaa alkuperäiseen kohteeseen – se osoittaa ”vastakkainen suunta.
Nämä ovat outoja esineitä; nämä objektit kuvaavat kuitenkin luonnollisesti spin 1/2 esineitä fysiikassa.
Nämä objektit ovat olemassa sen outon ominaisuuden vuoksi, että ortogonaalinen symmetriaryhmä on kaksinkertaisesti kytketty. Täällä on rikas matemaattinen rakenne, mutta nämä objektit ovat moraalisesti vektorin neliöjuuri – toisin sanoen jos moninkertaistat kaksi spinoria yhdessä, saat vektorin, kuten kun kerrot kaksi vektoria yhdessä, saat toisen tason tensorin kuten hetki inertia-tensori.