Paras vastaus
2x + y = 5, x – y = 1 on ainutlaatuinen ratkaisu x = 2, y = 1. Suorat 2x + y = 5, x – y = 1 risteävät yhdessä ja vain yhdessä pisteessä, eli (1,2).
Jos on olemassa kaksi yhdensuuntaista viivaa, kuten x – y = 1 ja x – y = 7, yhtälöille x – y = 1, x – y = 7. ei ole ratkaisua.
Jos 2 yhtälöä ovat itse asiassa samat, kuten x – y = 1,5 x – 5y = 5, mikä tahansa tällä viivalla oleva piste on ratkaisu, kuten x = 3, y = 2 tai x = 1000 y = 999, eikä ole olemassa ainutkertaista ratkaisua.
Se tulee hieman mielenkiintoisemmaksi tilanteessa, jossa on 3 muuttujaa, esimerkiksi x, y, z.
2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 on ainutlaatuinen ratkaisu x = 1, y = 1, z = 1. Tasot 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 risteävät yhdessä ja vain yhdessä pisteessä, eli (1,1, 1).
Jos on olemassa kolme rinnakkaista tasoa, kuten x + y + z = 1, x + y + z = 4 ja x + y + z = 8, yhtälöille x ei ole ratkaisua + y + z = 1, x + y + z = 4 ja x + y + z = 8.
Jos yksi yhtälö on kahden muun lineaarinen yhdistelmä, ainutlaatuista ratkaisua ei ole. Tässä on esimerkki 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. (1,1,1) ei ole vain ratkaisu vaan myös (2,2, -2) ja (3, 3, -7). Itse asiassa ratkaisuja on ääretön.
Syynä on se, että yksi yhtälö on lineaarinen yhdistelmä muita
3x + z = 4 on 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).
Tähän on paljon viittauksia, mutta toivottavasti tämä antaa sinulle käsityksen lineaaristen järjestelmien ainutlaatuisista ratkaisuista.
Vastaus
Vastauksessani oletetaan ensin, että tämä on lineaaristen yhtälöiden järjestelmä verrattuna järjestelmiin, joilla on lineaarisia eriarvoisuuksia.
Lyhyt vastaus – Toisiaan poissulkevat vaihtoehdot: Ei ratkaisua, Yksi ainutlaatuinen ratkaisu tai ääretön määrä ratkaisuja.
Pitkä vastaus – Ratkaisutyypit riippuvat tietyssä määrin siitä, kuinka monta yhtälöä ja kuinka monta muuttujaa lineaarisessa järjestelmässä ja kuinka haluat kuvata järjestelmää.
Algebraically :
- Järjestelmää, jolla ei ole ratkaisuja, kutsutaan epäjohdonmukaiseksi järjestelmäksi . Se tarkoittaa, että muuttujille ei ole arvojoukkoa, joka samanaikaisesti ratkaisisi kaikki järjestelmän yhtälöt. Seuraava järjestelmä on epäjohdonmukainen:
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x – 2 y – 6 z = 3
- x – 4 y – 2 z = 1
- Järjestelmää, jolla on täsmälleen yksi ratkaisu, kutsutaan johdonmukaiseksi, itsenäiseksi järjestelmäksi. Johdonmukainen, koska ratkaisu on olemassa ja riippumaton, koska jokainen yhtälö on riippumaton muista yhtälöistä. Tämä tarkoittaa, että kukin muuttujien arvo ratkaisussa on riippumaton muiden muuttujien arvoista. On täsmälleen yksi arvojoukko – yksi arvo muuttujaa kohti – joka samanaikaisesti ratkaisee kaikki järjestelmän yhtälöt. Seuraava on johdonmukainen, riippumaton järjestelmä (otettu osoitteesta mathisfun.com), jossa on ratkaisu x = 5 y = 3 z = -2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y – z = 27
- Järjestelmää, jolla on äärettömän monta ratkaisua, kutsutaan johdonmukaiseksi, riippuvaiseksi järjestelmäksi. Se on riippuvainen, koska ainakin yksi yhtälö järjestelmässä on toisen yhtälön monikerta tai muiden yhtälöiden yhdistelmä. Tämä tarkoittaa, että vaikka muilla järjestelmän muuttujilla on vain yksi arvo, joka ratkaisee kaikki järjestelmät samanaikaisesti, yksi tai useampi muuttuja voi ratkaista järjestelmän millä tahansa arvolla. Seuraava on johdonmukainen, riippuvainen järjestelmä, jossa on ratkaisu y = 1/5 – 4 x / 5; z = 7/5 – x / 5.
- x + y + z = 5
- x + 2 y – 3 z = 3
- 2 x + 3 y – 2 z = 8
Graafisesti (esimerkkinä 3 muuttujajärjestelmä):
- Järjestelmä, jossa on kaksi muuttujaa, voidaan esittää riviryhmänä kaksiulotteisessa kuvaajassa (yleensä xy), kun taas kolmella muuttujalla varustettu järjestelmä on kolmiulotteisen kuvaajan (yleensä xyz) viivojen tai tasojen kokoelma.Joten järjestelmä, jossa on n monia muuttujia, on esitetty n- -mittauskaaviossa.
- johdonmukaisessa, itsenäisessä järjestelmässä kaikki tasot kohtaavat yhdessä pisteessä (eli 2 seinää ja lattiatapaaminen kulmassa). Edellä olevassa algebrallisessa vastauksessa käytetyssä johdonmukaisessa, itsenäisessä järjestelmässä kaikki kolme tasoa leikkaavat kohdassa (5,3,2).
- , riippuvainen järjestelmä , kaikki tasot eivät kohtaudu vain yhdessä pisteessä, vaan yhdellä viivalla (eli kolme sivua kirjan kokouksessa selkärangassa). Edellä olevassa algebrallisessa vastauksessa käytetyssä järjestelmässä kaikki kolme tasoa leikkaavat linjalla -5 y + 20 z = 27 (Huomaa, että x voi olla mikä tahansa arvo ratkaisussa).
- epäjohdonmukainen järjestelmä , vähintään kaksi tasoa ovat yhdensuuntaiset eivätkä siten koskaan kohtaudu. Kolmas taso voi olla samansuuntainen molempien tasojen kanssa (ts. Kadun tienviivat) tai se voi leikata molemmat, mutta ei koskaan samassa paikassa. (eli huoneen ja katon vastakkaiset seinät).