Paras vastaus
Käytämme kaavaa cos (A + B) = Cos A cos B – sin A sin B, saada cos 2x: n formulæ.
Joten, Cos 2x = Cos (x + x) = Cos x cos x – sin x sin x = cos ^ 2 x – sin ^ 2 x
Joten, Cos 2x = cos ^ 2 x – sin ^ 2 x … ……. (1)
Jälleen, cos ^ 2 x – sin ^ 2 x = cos ^ 2 x – (1- cos ^ 2 x) = 2 cos ^ 2 x – 1
Joten, Cos 2x = 2 cos ^ 2 x – 1 …………… .. (2)
Jälleen 2 cos ^ 2 x – 1 = 2 (1 – sin ^ 2 x) – 1 = 1 – 2 sin ^ 2 x
Joten , Cos 2x = 1 – 2 sin ^ 2 x
Siksi Cos 2x = cos ^ 2 x – sin ^ 2 x = 2 cos ^ 2 x – 1 = 1 – 2 sin ^ 2 x
Vastaa
Tämä on ab * tch:
{\ displaystyle \ int} \ dfrac {2x} {\ sin \ vasen (2x \ oikea)} \, \ mathrm {d} x
Kirjoitamme tämän yhtälön uudestaan seuraavasti: = {\ displaystyle \ int} 2x \ csc \ left (2x \ right) \, \ mathrm {d} x \ Rightarrow \ class {steps-node} {\ cssId {steps- solmu-1} {2}} {\ displaystyle \ int} x \ csc \ left (2x \ right) \, \ mathrm {d} x
Ratkaistaan {\ displaystyle \ int} x \ csc \ left (2x \ right) \, \ mathrm {d} x
Uudelleen kirjoittaminen eksponenttien avulla: = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {2 \ mathrm {i} x} {\ mathrm { e} ^ {2 \ mathrm {i} x} – \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm {i} x}} \, \ mathrm {d} x \ Rightarrow \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-2} {2 \ mathrm {i}}} {\ cdot} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x} {\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} – \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm {i} x}} \, \ mathrm {d} x
Ratkaistaan nyt: {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x} {\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} – \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm {i} x}} \, \ mathrm {d} x
Laita termit yhteisen nimittäjän päälle: = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x}} {\ mathrm {e} ^ {4 \ mathrm {i} x} -1} \, \ mathrm {d} x
Koska \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ vasen [\ mathrm {i} x \ oikea] = \ mathrm {i}.mathtt {g}
\ mathtt {f} \: = \ ln \ vasen (v \ oikea) \ to \ mathtt {f} ”\: = \ dfrac {1} {v}; \ mathtt {g} ”\: = \ dfrac {1} {v + 1} \ to \ mathtt {g} \: = \ ln \ vasen (v + 1 \ oikea)
= \ ln \ left (v \ oikea) \ ln \ vasen (v + 1 \ oikea) – {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ vasen (v + 1 \ oikea)} {v} \, \ mathrm {d} v
{\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ vasen (v + 1 \ oikea)} {v} \, \ mathrm {d} v
Ratkaistaan nyt: {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ vasen (v + 1 \ oikea)} {v} \, \ mathrm {d} v
Korvaa w = -v \ longrightarrow \ mathrm {d} v = – \ mathrm {d} w
= – {\ displaystyle \ int} – \ dfrac {\ ln \ vasen (1-w \ oikea)} {w} \, \ mathrm {d} w
Tämä on jälleen edellä esitetty dilogaritmi: = \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (w \ oikea)
Joten – {\ displaystyle \ int} – \ dfrac {\ ln \ vasen (1-w \ oikea)} {w} \, \ mathrm {d} w = – \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (w \ oikea)
Kumoa korvaus w = -v: = – \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (-v \ oikea)
Kytke ratkaisut integraaleihin: \ ln \ left (v \ right) \ ln \ left (v + 1 \ right) – { \ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ vasen (v + 1 \ oikea)} {v} \, \ mathrm {d} v = \ ln \ vasen (v \ oikea) \ ln \ vasen (v + 1 \ oikea) + \ operaattorin nimi {Li } \_2 \ vasen (-v \ oikea)
Ratkaistaan nyt: {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left (v \ right)} {v-1} \, \ mathrm { d} v
Korvaa w = v-1 \ longrightarrow \ mathrm {d} v = \ mathrm {d} w
= {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ vasen (w + 1 \ oikea)} {w} \, \ mathrm {d} w
Tämä on jälleen dilogaritmi: = – \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (-w \ oikea )
Ja koska w = v-1: = – \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (1-v \ oikea)
Kytke ratkaistut integraalit: – \ class {steps -solmu} {\ cssId {steps-node-8} {\ dfrac {1} {2}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {v \ ln \ vasen (v \ oikea)} {v ^ 2 + 1 } \, \ mathrm {d} v + \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-9} {\ dfrac {1} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left (v \ right)} {v + 1} \, \ mathrm {d} v + \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-10} {\ dfrac {1} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ vasen (v \ oikea)} {v-1} \, \ mathrm {d} v = – \ dfrac {\ ln \ vasen (v \ oikea) \ ln \ vasen (v ^ 2 + 1 \ oikea)} {4} – \ dfrac {\ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (-v ^ 2 \ oikea)} {8} + \ dfrac {\ ln \ vasen (v \ oikea) \ ln \ vasen (v + 1 \ oikea)} {4} + \ dfrac {\ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (-v \ oikea)} {4} – \ dfrac {\ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (1-v \ oikea )} {4}
Kumoa v = \ mathrm {e} ^ u korvaaminen, käytä \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ u \ right) = u:
= – \ dfrac {u \ ln \ vasen (\ mathrm {e} ^ {2u} +1 \ oikea)} {4} – \ dfrac {\ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (- \ mathrm {e} ^ {2u} \ oikea)} {8} + \ dfrac {u \ ln \ vasen (\ mathrm {e} ^ u + 1 \ oikea)} {4} + \ dfrac {\ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (- \ mathrm {e} ^ u \ right)} {4} – \ dfrac {\ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (1- \ mathrm {e} ^ u \ oikea)} {4}
Liitä uudelleen ratkaisut integraalit: – {\ displaystyle \ int} \ dfrac {u \ mathrm {e} ^ {2u}} {\ mathrm {e} ^ {4u} -1} \, \ mathrm {d} u = \ dfrac {u \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ {2u} +1 \ right)} {4} + \ dfrac {\ operaattorin nimi {Li} \_2 \ left (- \ mathrm {e} ^ {2u} \ oikea)} {8} – \ dfrac {u \ ln \ vasen (\ mathrm {e} ^ u + 1 \ oikea)} {4} – \ dfrac {\ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (- \ mathrm {e } ^ u \ oikea)} {4} + \ dfrac {\ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (1- \ mathrm {e} ^ u \ oikea)} {4}
Koska u = \ mathrm {i} x: = \ dfrac {\ mathrm {i} x \ ln \ vasen (\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ oikea)} {4} + \ dfrac {\ operaattorin nimi {Li} \_2 \ left (- \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right)} {8} – \ dfrac {\ mathrm {i} x \ ln \ left (\ mathrm {e } ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ oikea)} {4} – \ dfrac {\ operaattorin nimi {Li} \_2 \ l eft (- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ oikea)} {4} + \ dfrac {\ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i } x} \ right)} {4}
Liitä ratkaisut integraaleihin: \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-12} {2 \ mathrm {i}}} {\ cdot} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x} {\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} – \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm {i} x}} \, \ mathrm {d} x = – \ dfrac {x \ ln \ vasen (\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ oikea)} {2} + \ dfrac {\ mathrm {i} \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ left (- \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right)} {4} + \ dfrac {x \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ oikea)} {2} – \ dfrac {\ mathrm {i} \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ oikea) } {2} + \ dfrac {\ mathrm {i} \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ oikea)} {2}
Kytke ratkaisut integraaleihin: \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-13} {2}} {\ displaystyle \ int} x \ csc \ left (2x \ right) \, \ mathrm {d } x = -x \ ln \ vasen (\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ oikea) + \ dfrac {\ mathrm {i} \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (- \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ oikea)} {2} + x \ ln \ vasen (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ oikea) – \ mathrm {i} \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (- \ mathrm {e} ^ { \ mathrm {i} x} \ oikea) + \ mathrm {i} \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ oikea)
Nyt meidän on vain sovellettava absoluuttisen arvon funktio logaritmifunktioiden argumentteihin antivivatiivisen toimialueen laajentamiseksi:
{\ displaystyle \ int} 2x \ csc \ left (2x \ right ) \, \ mathrm {d} x = -x \ ln \ left (\ left | \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right | \ right) + x \ ln \ left ( \ vasen | \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ oikea | \ oikea) + \ dfrac {\ mathrm {i} \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (- \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ oikea)} {2} – \ mathrm {i} \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ oikea) + \ mathrm {i} \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ oikea) + C \ Rightarrow \ laatikko {\ dfrac {\ mathrm {i} \ vasen (\ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (- \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ oikea) -2 \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ oikea) +2 \ operaattorin nimi {Li} \_2 \ vasen (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ oikea) \ oikea)} {2} -x \ vasen ( \ ln \ left (\ left | \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right | \ right) – \ ln \ left (\ left | \ mathrm {e} ^ {\ mathrm { i} x} +1 \ oikea | \ oikea) \ oikea) + C}