Paras vastaus
Matematiikassa ei todellakaan ole yleistä avaruuden määritelmää. Lähes mitä tahansa esinettä, jonka voimme ajatella visuaalisesti, voidaan kutsua avaruudeksi. Metriset tilat, jakotukit, Hilbert-avaruudet, orbifoldit, kaaviot, mittaavat tilat, todennäköisyysvälit ja moduulipinot ovat kaikki asioita, joita kutsumme avaruuksiksi.
Lähin asia avaruuden yleiselle määritelmälle on todennäköisyys käsite topologinen tila. Esimerkiksi metriset tilat, jakotukit, Hilbert-välit, kiskot ja kaaviot ovat kaikki topologisia tiloja, joissa on hieman enemmän rakennetta.
Topologinen tila koostuu joukosta pisteitä, X ja joukko osajoukkoja X: stä, jota kutsumme ”avoimeksi”, noudattaen ehtoja, jotka
- Tyhjä joukko ja itse X ovat auki,
- mikä tahansa avoimen joukon unioni on avoin,
- Ja avoimen joukon parin leikkauspiste on avoin.
Avoimien joukkojen oletetaan olevan kuin \ mathbb {R}: n avoimet alijoukot. Vaarana olla epämääräinen, ajattelemme avoimia joukkoja X: n osajoukoina U, jotta kaikkia U: n pisteitä voidaan siirtää hieman poistumatta U.Seistä on kirjaimellisesti \ mathbb {R}, koska siellä olevat avoimet joukot on määritelty osajoukoiksi U siten, että kaikille U: ssa oleville x \ on \ epsilon> 0 siten, että (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ osajoukko U (eli liikkuu x vähemmän kuin \ epsilon ei johda pisteeseen U: n ulkopuolella.
On käynyt ilmi, että tämä vähäinen määrä tietoja – joukko pisteitä ja kokoelma avoimia osajoukkoja – riittää kertomaan, ovatko toiminnot jatkuvia. Tästä syystä topologiset tilat ovat todella hyödyllisiä.
Toisaalta kaikki matematiikan tilat eivät ole topologisia tiloja tai edes, kuten muut ovat vastanneet, joukko pisteitä, joilla on ylimääräinen rakenne. Tämän hämmästyin oppimasta muutama lukukausi sitten.
Ajattelen vasta-esimerkkiä ajatuksesta moduulipinosta, joka (tämä tulee oudoksi!) On erityinen functor F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, jossa \ mathcal {D} -objektin D jokaisen objektin ennakkokuvaa pidetään jatkuvien funktioiden kokoelmana D: stä avaruuteen, jota F: n on tarkoitus edustaa.
Kuinka maan päällä tämä tila on? Saadaksesi jonkinlaisen intuition, ota huomioon sarja jatkuvia funktioita avaruudesta, joka koostuu yhdestä pisteestä topologiseen avaruuteen X. Jokaiselle pisteelle X \ X saadaan funktio, joka vie yhden pisteen p: ksi. Tässä mielessä jatkuvien funktioiden joukko pisteestä X: hen kuvaa X: n pisteitä. Jos tarkastelemme funktioita jostakin mielikuvittajasta, sanotaan esimerkiksi linjasegmentti, X: ksi, alamme saada käsityksen siitä, kuinka X: n pisteet liittyvät toisiaan – mitkä voidaan yhdistää toisiinsa polulla, mitkä ovat lähellä ja mitkä kaukana toisistaan ja niin edelleen. Tarkastelemalla kaikki mahdolliset funktiojoukot X: ksi voimme todellakin päätellä tarkalleen, mitä X on. Tämä on idea, jota kutsutaan nimellä Yoneda Lemma . Moduulipinon ajatuksena on käyttää tätä metaforana: mitä tahansa funktoria, joka näyttää ”siltä”, että se kuvaa toimintoja topologiseksi tilaksi, voidaan käyttää ”avaruuden” määrittelemiseen.
Mitä haluan korostaa tämä on: matematiikassa on monenlaisia tiloja, mutta jos haluat saada perustavanlaatuisen kuvan siitä, mikä tila on, sinun tulisi tutkia topologisia tiloja. Siitä huolimatta asiat ovat outoja!
Vastaus
Avaruus ei itsessään ole kovin muodollinen määritelmä. Se on melkein matemaattinen versio sanasta ”asia”. Ehkä lähempi synonyymi on ”asetettu”, mutta sana ”tila” merkitsee sitä, että siellä on jotain ylimääräistä ainesosaa … jokin rakenne … joka on myös pelissä. Muuten he ”vain käyttävät sanaa” set ”.
Erilaisilla välilyönneillä on määritelmät. Vektoritila on joukko vektoreita, jotka noudattavat joitain sääntöjä. Topologinen tila on joukko yhdessä erityisen alijoukkokokoelman kanssa metrinen avaruus on joukko yhdessä sopivan kaavan kanssa, joka kertoo joukon pisteiden välisen etäisyyden. Usein erityistilojen tyypit ovat tällaiset kuvaavat nimet.
Muuntyyppiset avaruudet on nimetty niitä tutkineiden ihmisten mukaan. Banach-välit, Hilbert-välit, Sobolev-välit … nämä ovat kaikki erityyppisiä vektoritiloja, joissa on vähän ylimääräistä rakennetta se tekee niistä mielenkiintoisia omalla tavallaan, ja ne on nimetty ihmisten mukaan, joilla oli merkitystä kyseisen tarinan kehittämisessä.