Paras vastaus
A2A.
tan40 °: n arvoa ei löydy käyttämällä normaalia trigonometristä summaa, ero- tai useita kulmakaavoja. Kuitenkin, jos olet tyytyväinen kuutioyhtälöiden ratkaisemiseen, tämä menetelmä voi olla hyödyllinen –
Tiedämme,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
Korvaamalla x: n arvoksi 40 ° tässä yhtälössä –
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
Kirjoittamalla tan40 ° merkkinä y –
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (rusketus 120 ° on vakioarvo ja on yhtä suuri kuin – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
Tämän yhtälön ratkaisemisessa saadaan kolme arvoa, joista positiivinen arvo antaa rusketuksen 40 °.
Siksi noin, tan 40 ° = 0.8394.
Vastaus
Mikä on \ tan 40 ^ o: n arvo?
Löydämme \ tan 40 ^ o: n arvon mihin tahansa haluttuun tarkkuustasoon käyttämällä Taylor-sarjaa \ tan x. ,
f (x) = f (a) + \ frac {f ”(a)} {1!} (xa) + \ frac {f” ”(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f ”” ”(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Tämä voidaan kirjoittaa kompaktisti muodossa f (x) = \ summa \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad missä f ^ {(n)} (a) tarkoittaa f (x) n ^ {th} -johdannaista kohdassa x = a.
Voidaan huomata, että trigonometristen toimintojen tapauksessa kulma olisi ilmaistava radiaaneina eikä asteina.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ oikea) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ right) = \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right).
Kun otetaan x = \ frac {2 \ pi} {9} ja a = \ frac {\ pi} {4}, meillä on (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
Kohdassa a = \ frac {\ pi} {4} \ tan x on äärettömän erilainen.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ vasen (\ frac {\ pi} {4} \ oikea) = 1.
f ”(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f” (a) = f ”\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f” ”(x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ”” (a) = f ”” vasen (\ frac {\ pi} {4} \ oikea) = 4.
f ”” ”(x) = 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sec ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ”” ”(a) = f” ”” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) + \ frac {4} {2!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ oikea) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 3 \ noin 0.83892575.
\ tan (40 ^ arvo o) Excelin antama arvo on 0,83909963.
Voidaan nähdä, että vaikka vain 4 termiä tällä äärettömällä sarjalla, virhe on vain 0,0272 \\%.
Jos tarkkuus on suurempi Tarvittaessa voimme jatkaa infiniittisarjan ehtoja.