Legjobb válasz
igazolása gondoljon a szinuszra és a koszinuszra.
Ha a szinuszra és a koszinuszra a derékszögű háromszög oldalainak arányaként gondolsz (mint például a középiskolában, ahol a szinuszokat a hipotenuszokkal ellentétesen tanítják), akkor egy derékszögű háromszöget kap a, b, c oldalakkal; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (utóbbi Pythagoreus-háromszög által), és \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Ha a szinuszra és a koszinuszra gondolsz, mint az egység körének egy pontjának koordinátájára (amelyet a kör arhosszának paraméterez), akkor az egység kör meghatározása alapján minden pont kielégíti x ^ 2 + y ^ 2 = 1, tehát a pont (\ sin \ theta, \ cos \ theta) is, tehát \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
A szinusz és a koszinusz úgy is meghatározható, hogy független megoldások az f = -f differenciálegyenletre, \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Mivel az egyenletnek csak két független megoldása van , és könnyen belátható, hogy az f ^ {(n)} megoldás, biztos, hogy a \ sin x, \ sin x, \ sin x nem lehetnek független megoldások. Valójában \ sin x = – \ sin x, tehát \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, tehát \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . Ebből implicit módon megkülönböztethetünk \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x, hogy 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Tehát a \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x értéke állandó, és 0-nál értékelve \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, tehát \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
A szinusz és a koszinusz a \ sin x = x – \ frac {x hatványsorral is meghatározható ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. Ezeknek a hatványsoroknak a \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x kifejezés körültekintő kiterjesztése megmutatja az összes olyan kifejezést, amely magában foglalja az x ^ n Cancel elemet, csak az 1 állandó tagot hagyva értékként.
Válasz
Ennek elgondolkodásához mérlegelnünk kell a trigonometrikus arányokat. Tudjuk, hogy a szinusz arány megegyezik a hipotenusz fölötti oldal szöget záró szögével, vagy o / h. Azt is tudjuk, hogy a koszinusz arány megegyezik a szomszédos oldallal és a hipotenusz fölötti szöggel, vagy a / h. Ezután azt látjuk, hogy ezek az arányok négyzetesek, ami azt jelenti, hogy a trigonometrikus azonosság, sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1, egyenértékű (o / h) ^ 2 + (a / h) ^ 2 = 1, ami egyenlő o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2 -vel. Mivel van közös nevezőnk, ezt a két egyenletet egyesíthetjük az (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2 megszerzéséhez. Ezután megnézhetjük ezt, és rájöhetünk, hogy meghatározzuk a háromszög minden oldalát. Pitagorasz-tétel alapján tudjuk, hogy a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Láthatjuk, hogy mivel o, a és h ezen értékei mind a háromszög különböző oldalai, ezért egyenlőek a, b és c értékekkel. C értéke a Pitagorasz-tételben egy derékszögű háromszög hipotenusa, tehát tudjuk, hogy h = c. Ez azt jelenti, hogy a és b egyenlő o-val és a-val. Nem számít, hogy melyik betűhöz van rendelve, mivel az eredmények nem változnak. Ekkor láthatjuk, hogy a Pitagorasz-tételen keresztül tudjuk, hogy a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, ami o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2 -hez vezet. Ez azt jelenti, hogy kicserélhetjük előző egyenletünk számlálóját, ekvivalenssé téve azt (h ^ 2) / (h ^ 2). Végül tudjuk, hogy bármely önmagában osztott változó egyenlő 1-vel, ezért ez az egyenlet egyenlő 1-vel. Ha visszatérünk az eredeti egyenletre, bebizonyítottuk, hogy sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.