Legjobb válasz
Adva van, hogy
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2x-szer x \ szor \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Most x értéke ^ 2 lesz – \ omega és – \ omega ^ 2
Hol
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
És
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Vegyük az x ^ 2 értéket – \ omega
Most az adott kifejezés \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Rightarrow {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ omega) ^ {9} + (- \ omega) ^ {6} + (- \ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Most emlékezzen vissza arra, hogy \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Tehát
\ displaystyle {s = 1 – (1-szer {\ omega}) + (1-szer {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
Tehát a válasz 0
============================================ ================= ===
Tetszett a válaszom? Szeretne még több olyan írást olvasni, mint a fentieknek tetsző dolgok? Kérjük, kövessen engem, és szavazzon fel erre a válaszra.
Válasz
Ez a probléma kissé egyszerűbb, mint amilyennek elsőre tűnik, és ez egy lecke a hasznosságról lehet szimmetria keresése – majd kihasználása. A probléma megoldásához nincs szükség semmilyen számításra, bár ha ismer valamilyen számítást, akkor ez a megközelítés nagyon jól működik. A nem Calculus megoldás kulcsa annak megfigyelése, hogy ha ugyanaz az érték minimalizálja a g (x) és a h (x) értékeket, akkor a g (x) + h (x) értékeket is minimalizálja. Látja, miért igaz ez?
Hogyan alkalmazhatjuk ezt az ötletet erre a problémára?
Tekintsük a g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4 ) ^ 4. Ez a függvény szimmetrikus x = 3,5 – a +3 és a +4 értékek, amelyek hozzáadódnak az x-hez, félúton – mivel ezt g (x) = ((x + 3.5) -0.5) ^ 4 + -nak írhatjuk ((x + 3,5) +0,5) ^ 4. Ha y = x + 3,5, akkor ez a szimmetria azt jelenti, hogy g (y) egyenletes polinomnak kell lennie, ezért csak páros hatványokkal rendelkező kifejezéseket tartalmaz. Mivel ez még egy polinom, a binomiális tétel azt mondja nekünk, hogy minden együtthatójának pozitívnak kell lennie. (Valójában ez g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, de az érvelés befejezéséhez nem is kell kifejezetten ezt a három kifejezést találnunk.) Mivel y = 0, egyértelműen minimalizálja mindegyiket g (y) összegének egyenként, mivel mindegyik egyenletes y hatvány pozitív együtthatóval, kezdeti megfigyelésünk azt sugallja, hogy y = 0-nak minimalizálnia kell g-t is. Tehát felfedeztük, hogy x = -3,5 a g (x) egyedi minimalizálója.
Ezután vegye fontolóra h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Ez a függvény kissé egyszerűbb, mint g, mivel kvadratikus, és egy majdnem azonos argumentum azt sugallja, hogy x = 3,5 a h (x) egyedi minimalizálója is. Használja ki a szimmetriát, és írja be h (x) = ((x + 3,5) -3,5) ^ 2 + ((x + 3,5) +3,5) ^ 2 formátumban. Ezután vegye figyelembe, hogy h (y) egyenletes polinom (ennélfogva csak páros y képességei vannak), és a binomiális tétel alapján arra a következtetésre juthat, hogy csak pozitív együtthatók vannak. Valójában h (y) = 2y ^ 2 + 24,5, de megint nem kell kifejezetten megtalálnunk. Mivel y = 0 minimalizálja a h (y) termeléséhez hozzáadott összes kifejezést, tudjuk, hogy y = 0 minimalizálja h (y) értékét, és arra a következtetésre jutunk, hogy x = -3,5 a h (x) egyedi minimalizálója.
Végül, mivel x = -3.5 mind g (x), mind h (x) egyedi minimalizálója, ez az összegük egyedi minimalizálója, és a probléma megoldódott.