Legjobb válasz
Mivel az ellipszis egy lekerekített kör, ekvivalens körnek tekinthetjük. Ez csak egy közelítés lenne, és nem az ellipszis kerülete pontos értéke.
Tudjuk, hogy az ellipszis egyenlete:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
Amikor a = b = r, ez lesz a kör egyenlete. Tehát megírhatnám a kör ekvivalens sugarának egyenletét „a” és „b” kifejezéssel.
Inkább az „a” és „b” átlagát véve jobb közelítést kapnánk az a és b négyzetek középértékének gyökere.
ie
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Ezért az ellipszis hozzávetőleges kerülete a következő lenne:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
Sokkal jobb közelítések vannak, de azt hiszem, ez elég lenne.
Remélem, hogy ez segített.
Válasz
Próbáljuk meg, ha megtalálhatjuk az ellipszis kerületét.
Egy ellipszis az a féltengely és a b féltengely egyenlete:
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
Grafikon (itt a festékkel kell megbirkóznunk, a Math-szoftveremnek licencmegújításra van szüksége):
A kerület megtalálásához ki kell fejeznünk ennek a kerületnek \ text {d} s egy részét a \ text {d} x, \ text {d} y függvényében, és remélhetőleg megérkezünk valamilyen használható kifejezésnél.
Ha feltételezzük, hogy a \ text {d} seket egyenes vonallal közelíthetjük meg, akkor alkalmazhatjuk Pythagoras:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ tag * {}
vagy
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ balra (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Feltételezem, hogy mindig a \ text {d} x> 0 értéket vesszük, vagy balról a másikra haladunk jobbra a főtengely mentén.
Csak hirdetni kell d ezek a kis ívhosszúságok. Figyelembe vehetjük az x \ értékét a [0, a] -ban és megszorozhatjuk 4-gyel, mert az ellipszisünk szimmetrikus az x, y tengelyben.
Megtaláltuk:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
Ha találunk egy (szép) kifejezési módot:
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
üzleti tevékenységet folytatunk.
Azonban van már egy (1) kifejezés, amely y-hez kapcsolódik x-hez. Idő a (3) számításához, implicit differenciálást fogok használni:
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
vagy
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = – \ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ címke * {}
vagy
\ displaystyle \ bal (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
Ezt csak az x használatával kell tudnunk írni. Újra felhasználjuk az (1) -t:
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Az (5) helyettesítése a (4) kifejezésre:
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Helyettesítse a (2) szót:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
Néhány lehetőség van ennek az integrálnak az átírásához. Az egyik lehetőség az x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z beállítása, és egy a következőre érkezne:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
Egy másik módszer a következő alakzat ellipszisének paraméterezését jelenti:
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
És ez egy második típusú elliptikus integrálhoz vezet, ami nagyjából a szokásos megközelítés:
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
a következővel:
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
az ellipszis excentricitása.
A (6,7) és (8) kifejezéseket összehasonlítva azt látjuk, hogy a (8) helyett a (6, 7). Az utolsó kifejezés nemcsak egyszerűbb e paraméterében, hanem szépen is viselkedik. A (6,7) kifejezésben még mindig van egy probléma, amikor x \ a-ra, z \ 1-re van.
Azonban Az eredménynek nincs zárt alakkifejezése. Egy kör esetében e = 0, és a (8) szépen 2 \ pi a-ra csökken, ahogyan azt feltételezzük. Ugyanez vonatkozik a (6,7) -re is.