Legjobb válasz
A2A.
A tan40 ° értéke nem található meg standard trigonometrikus összeg használatával, különbség vagy többszörös szög képletek. Ha azonban kényelmes a köbös egyenletek megoldása, ez a módszer jól jöhet –
Tudjuk,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
Az x helyettesítése 40 ° -kal ebben az egyenletben –
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
tan40 ° írása y-ként
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (120-as tan ° standard érték és egyenlő – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
Ennek az egyenletnek a megoldása során három olyan értéket kapunk, amelyekből a pozitív érték tan 40 ° -t eredményez.
Ennélfogva megközelítőleg, tan 40 ° = 0.8394.
Válasz
Mi a \ tan 40 ^ o értéke?
Megtalálhatjuk a \ tan 40 ^ o értékét tetszőleges szintű pontosságra a Taylor \ tan x sorozat használatával.
A valós vagy összetett értékű f (x) függvény Taylor-sorozatát, amely végtelenül megkülönböztethető egy valós vagy összetett a pontban, a ,
f (x) = f (a) + \ frac {f “(a)} {1!} (xa) + \ frac {f” “(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f “” “(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Ezt tömören felírhatjuk f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad ahol f ^ {(n)} (a) az f (x) n ^ {th} származékát jelöli x = a értéknél.
Megjegyezhetjük, hogy trigonometrikus függvények esetén a szöget radiánban, és nem fokban kell kifejezni.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ jobbra) = \ tan \ balra (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ jobbra) = \ tan \ balra (\ frac {2 \ pi} {9} \ jobbra).
Az x = \ frac {2 \ pi} {9} és a = \ frac {\ pi} {4} vételével megadjuk (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
Az a = \ frac {\ pi} {4} mezőben a \ tan x végtelenül differenciálható.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ bal (\ frac {\ pi} {4} \ jobb) = 1.
f “(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f” (a) = f “\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f” “(x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “” (a) = f “” balra (\ frac {\ pi} {4} \ jobbra) = 4.
f “” “(x) = 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sec ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “” “(a) = f” “” \ bal (\ frac {\ pi} {4} \ jobb) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ bal (\ frac {\ pi} {36} \ jobb) + \ frac {4} {2!} \ bal (\ frac {\ pi} {36} \ jobbra) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ balra (\ frac {\ pi} {36} \ jobbra) ^ 3 \ kb. 0.83892575.
A \ tan (40 ^ értéke o) az Excel által megadott érték 0,83909963.
Látható, hogy ennek a végtelen sorozatnak csak 4 kifejezésével is csak 0,0272 \\% a hiba.
Ha nagyobb pontosság szükség esetén további feltételeket vehetünk fel a végtelen sorozatról.