Legjobb válasz
Kétféle módon lehet megmondani, hogy egy mátrix (és ezáltal az egyenletrendszer, amelyet a mátrix képvisel) ) egyedi megoldással rendelkezik, vagy sem.
a. Cramer-módszer.
Konvertálja az egyenletrendszert a Mátrix formába AX = B, ahol A = Együtthatók mátrixa, X = Változók mátrixa és B = eredménymátrixa.
Nevezze meg az együtthatékonysági mátrixot D-vel. 3 x 3-as mátrix esetén cserélje ki a D mátrix 1., 2. és 3. oszlopát az eredményekre. Oszlopmátrix a Dx, Dy és Dz mátrixok megszerzéséhez.
- Ha D nem egyenlő 0-val, és ha legalább Dx, Dy és Dz egyik értéke nem egyenlő 0-val, akkor az egyenletrendszer konzisztens és egyedi megoldással rendelkezik.
- Ha D = 0, és ha Dx, Dy és Dz = 0, de ha legalább a Ko-hatékony mátrix egyik alkotóeleme (aij) vagy legalább a 2 x 2 kiskorú valamelyike nem egyenlő 0-val, akkor az egyenletrendszer következetes és végtelenül sok megoldása van.
- Ha D = 0 és legalább Dx, Dy és Dz egyik értéke nem nulla, akkor az egyenletrendszer következetlen (Nincs megoldás).
Így az egyenletrendszer csak akkor ad egyedi megoldást, ha az érték meghatározója nem egyenlő nulla értékkel.
b. Rangolási módszer
Írja le az egyenletrendszert mátrix formátumban AX = B ahol A = Együtthatók mátrixa, X = Változók mátrixa és B = Eredmények mátrixa.
Tudja meg az A. mátrix rangját.
Írja le a kiterjesztett mátrixot [A, B]
Tudja meg a kibővített mátrix rangját [A, B]
- 1. Ha az A mátrix rangja nem egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor az egyenletrendszer következetlen és nincs megoldása.
- Ha mindkét mátrix rangja megegyezik és egyenlő a ismeretlen változók a rendszerben, és ha az A mátrix nem egyes, akkor az egyenletrendszer konzisztens és egyedi megoldással rendelkezik.
- Ha mindkét mátrix rangja egyenlő, de ha a rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma, akkor az egyenletrendszer következetes és végtelen sok megoldással rendelkezik. Tehát csak három lehetőség van: következetlen és nincs megoldás, összhangban az egyedi megoldással, összhangban a végtelen sok megoldással.
Tehát a rendszer hoz Egyedülálló megoldás csak akkor, ha az Együtthatók mátrix rangja = A kiterjesztett mátrix rangja = Ismeretlenek száma.
Válasz
Az elmélet azt mondja, hogy Ax = b egyedi megoldása van, ha \ det (A) \ neq0, és különben nincs megoldása vagy végtelen sok. A mátrixot egyes számnak hívják ebben az esetben
A gyakorlat azonban azt mondja, hogy ez szinte soha nem történik meg. Tehát minden egyenletkészlet megoldható? Igen és nem. Ha a mátrix majdnem egyedülálló, kaphat megoldást, de nem lesz értelmes. Ennek oka, hogy a jobb oldali kis ingadozások óriási (több nagyságrenddel nagyobb) ingadozást okozhatnak a megoldásban. A rendszert ebben az esetben rosszul feltételezettnek hívják. Ez rossz dolog, mert a számítások során elveszíthet jelentős számjegyeket a közel azonos mennyiségek kivonása miatt.
Hogyan lehet megmondani? A feltétel száma \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | az elméleti mérték. A legjobb érték 1, annál nagyobb, annál rosszabb. De ezt nem olyan könnyű kiszámítani. Ennek gyakorlati módja az, hogy vegyen egy kis véletlenszerű zavart a jobb oldalán, és hasonlítsa össze a két megoldást. Ha ezek jelentősen eltérnek egymástól, akkor rosszul kondicionált rendszere van.