Legjobb válasz
Ennek bizonyításához használja a szinusz kivonás képletet.
ie, sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Itt a = π és b = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Ezért bebizonyosodott
Válasz
1. bizonyítás:
A bizonyítás legegyszerűbb módja
cos (π / 2 – x) = sin x
A = π / 2, B = x beillesztése a trigonometrikus képletbe
cos (AB) = cos A. cos B + sin A. sin B ………………………………. (1)
és kapja meg
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
A cos π / 2 = 0 és a sin π / 2 = 1 helyettesítése a (2) -ben,
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (Igazolt)
2. bizonyítás:
Legyen az ABC háromszög, derékszögben B-re. Legyen az AB alapja, az AC pedig a hipotenusz. Ha a C szöget x-szel jelöljük, akkor az A = (π / 2 – x) alapszög úgy, hogy A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π vagy 180 °.
Ami az A alapszöget illeti, a BC a merőleges.
∴ cos A = cos (π / 2 – x) = alap / hipotenusz = AB / AC ………… .. (3 )
A C szög esetében az AB merőleges, ezért
sin C = sin x = merőleges / hipotenusz = AB / AC ……………. (4)
A (3) és (4) egyenlet,
cos (π / 2 – x) = sin x (Igazolt)
3. bizonyítás:
Használja az Euler képletét
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
amely meghatározza az eⁱᶿ szimbólumot a bármely valós értékére. Itt i = √-1.
∴ Helyezhetünk θ = (π / 2 – x) a képletbe, és írhatunk
e ^ i (π / 2 – x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Vagy, e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Most e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i és e ^ (- ix) = cos x – i sinx
∴i. (Cos x – i sin x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Vagy, i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Mivel i² = -1]
A valós és a képzeletbeli rész megegyezése,
cos (π / 2 – x) = sin x (Igazolt)
és cos x = sin (π / 2 – x)
Záró megjegyzések:
A megadott állítás bizonyításához az itt bemutatott három módszer közül az előnyben részesített módszer az 1. bizonyítás. Ennek az az oka, hogy egyszerű, egyenes és gyors. Körülbelül 30 másodperc alatt képes egy átlagos hallgató mentálisan elvégezni. A 2. bizonyításban fennáll a zavarodottság, hogy melyik az alap, melyik a merőleges. Emellett több időt kell töltenie egy háromszög megrajzolásához, az oldalak, a szögek stb. Megjelöléséhez. A 3. bizonyítás rendben van; de nem sokan kényelmesek vagy jók a komplex funkciókkal való munkában. A módszer több algebrát tartalmaz, mint a többi módszer; de bónuszt ad, mégpedig: bebizonyítja a cos x = sin (π / 2 – x) képletet.