Legjobb válasz
A közzétett kifejezés a kérdés nem egészen helyes.
A binomiális tétel
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
minden komplex számra érvényes x és y és nem negatív egész számok n .
Legyen x = 1 és y = -1. Ezután a jobb oldalon meg lesznek a kívánt váltakozó különbségek és kombinációk összegei (amit választott s-ként emlegettek). A bal oldalon 0 ^ n van, amelyet nyilvánvalóan 0-nak tételez fel. Ugyanakkor a binomiális tétel, amint fentebb említettük, az összes nem negatív egész számra vonatkozik. n , amely 0-t tartalmaz, ebben az esetben a bal oldal 0 ^ 0 = 1 – ezt az esetet nem engedélyezte.
Ha nem hiszel nekem, próbáld ki ezt a triviális gyakorlatot: Írja ki Pascal háromszögének első néhány sorát. A kiküldött kérdésben a „választás” képlet egyenértékű bármely sor kijelölésével, és a bal szélső elemtől kezdődően (amely mindig 1, függetlenül attól, hogy melyik sort választja), majd vonja le a következő elemet jobbra, és folytassa az felváltást az összeadással és kivonással annak a sornak az összes elemét. Figyelje meg, hogy az 1 1-et tartalmazó sor és az 1 2 1-et tartalmazó sor, valamint az 1 3 3 1 -et tartalmazó sor mind ezzel a folyamattal 0-t ad. Mi történik azonban a legfelső soron, amely csak 1-et tartalmaz? Kezdjük azzal az 1-gyel, és felkészülünk a következő elem levonására, de nincs következő elem, így már 1, és nem 0 eredménnyel végzünk. Nincs szükség arra, hogy kizárjuk a felső sort abból a koncepcióból, hogy a váltakozó különbségek az összegek pedig 0 ^ n értéket adnak az összes sorhoz.
Ha Ön is azok között van, akinek a 0 ^ 0 = 1 kapcsán van letiltása, akkor valóban túl kell lépnie ezen a letároláson, legalábbis a kontextusban egész kitevőből. Ha a 0 ^ 0-t nem definiáltnak tekinted, ugyanúgy eldobhatod a binomiális tételt és a fenti bizonyítást, mert a binomiális tételt nem használhatod a (0 + y) ^ {n} és (x + 0) ^ {értékelésére. n}, függetlenül az n értékétől, mert az előbbi hatalom binomiális bővítésének utolsó, az utóbbi hatalom esetében pedig az első kifejezés mindkettő 0 ^ 0-t tartalmaz, ezért ezt az összeget definiálatlannak kellene neveznie, és hozzá kell adnia az egyébként teljesen felesleges és ostoba kizárást, amelyre a binomiális tétel nem vonatkozik x = 0 és y = 0 esetén. Megsértené az üres termék szabályt is, amely azt jelzi, hogy a tényezők nélküli szorzatnak kell lennie a multiplikatív identitáselemnek , 1. A kapcsolat 0! = 1 a binomiális tétel, valamint sok más hely szempontjából is fontos – de 0-val! az egyik nem szorz tényezőket, amelyek 1-től kezdődnek, tehát üres szorzat, és végül az üres termék szabálya mondja meg, hogy 0! = 1. Ugyanez az üres termék szabály azt mondja, hogy x ^ 0 = 1 összes komplex számhoz x , és az x értéke nem érinti az üres termék szabályt, ezért igen, x = 0 ugyanúgy érvényes, mint az x bármely más értéke – semmilyen kivételes eset nem indokolt.
Vannak számos egyéb ok a 0 ^ 0 = 1 vonatkozására, legalábbis az egész kitevők vonatkozásában: a polinomok és a hatványsorok képletes meghatározása ∑ jelöléssel, valamint az ilyen polinomok és hatványsorok manipulálása, különféle kombinatorikai problémák és mások. Nincs megalapozott indoka annak, hogy a 0 ^ 0 értéke 1-től eltérő értékű legyen, vagy azt definiálatlannak tekintsék, legalábbis egész számok kitevőivel összefüggésben.
Néhányan közületek kissé szoronghatnak én azért írok ilyeneket, mert sérti mindazt, amit tanítottak neked – talán annyi szorongást, hogy nehezen gondolkodsz még az általam írt esetleges érvényességén is, és épp néhány válaszmegjegyzést fogsz írni, hogy elmondjam, hol tévedek. Annak érdekében, hogy ne nézz ki hülyén téves megjegyzésekkel, folytatom, és kitérek arra, amire számítok:
- „A tankönyvem és a tanárom azt mondta, hogy a 0 ^ 0 nincs meghatározva, és tudnák ne tévedj. ” Utálom, hogy el kell mondanom neked, és megszakad a buborékod a tanáraiddal és a tankönyveiddel kapcsolatban, de a középiskolai matematika (és egyéb tantárgyak) tankönyvekben sok olyan téma van, amelyet túlságosan leegyszerűsítenek a hibásságig. Az itt szereplő megjegyzéseim nem a középiskolai matematikatanárok lebuktatásának számítanak – kihívást jelentő feladatuk van, és a legtöbben valóban nagyszerű munkát akarnak végezni, és elősegíteni a tanulók fejlődését.A legtöbb középiskolai matematikatanár egyetemi tanulmányai során nem végzett matematikát – legtöbbjük matematika szakirányú oktatásra szakosodott. Megtanulják, hogy a különböző hallgatók hogyan gondolkodnak, hogyan magyarázzák el különféle szempontokat különféle módokon, hogyan találják meg és diagnosztizálják a diákok anyaggal kapcsolatos problémáit, és más nagyon értékes dolgokat, amelyek nem közvetlenül kapcsolódnak a matematikához. Időt töltenek be a téves osztálytermekben, valamint a valós tantermekben a tényleges tanár irányítása alatt, annak érdekében, hogy gyakorlatot szerezzenek. Nagyon sok alapos áttekintést kapnak arról a matematikáról, amelyre számítanának a tanításra, ami középiskolai szinten azt jelenti. Néhány egyetemi szintű matematika tanfolyamot vesznek részt a programjukban, de közel sem olyan sok vagy annyira haladó, mint amennyit egy matematika szak elvégezne. A matematika szakok ezt nem teszik meg, de a továbbtanulási kurzusaik során jobban kiteszik a valós, élő, professzionális matematikusok tevékenységét, és a matematikatanárok többsége nem éri el ezt az expozíciót – nem veszik észre, hogy a matematikusok valójában hogyan határoznak meg olyan dolgokat, mint a természetes számok és egész számok, korlátozott expozíció olyan matematikusok számára, akik szögméréshez fokok helyett radiánokat használnak (és a szögeknél az egységszimbólum hiánya sugárzást jelent, nem fokot), és nem ázik be abban, amit a professzionális matematikusok a műveletek megfelelő sorrendjének tekintenek (és nem , nem PEMDAS, BODMAS,…) stb. A matematikatanárok azt tanítják, amit a könyv tanít, és nincsenek tisztában azzal, hogy olyan dolgokat tanítanak nektek, amelyek ellentétesek a professzionális matematikusokkal.
- A kitevők osztási törvényei: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, ami nincs meghatározva, ezért a 0 ^ 0-nak meg kell határoznia, mivel egyenlőek. Érvénytelen lépés történt a második = -nál. A kitevők osztódási törvényei közé tartozik a b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, de bizonyos korlátozásokkal rendelkezik a használatához. Az egyik az, hogy a törvény alkalmazása egyetlen pillanatban sem generálhat olyan kifejezést, amely 0-nak a kölcsönösét vagy a 0-val való osztást foglalja magában. Ezért ennek a törvénynek a használata tilos, ha b = 0, mert hülyeséget generál – és ez az a hülyeség, amelyet felhasználni akar az álláspontjának „bizonyításához”. Elnézést, de egy pont bizonyításához nem használhat olyasmit, ami annyira ostobaság, hogy érvénytelen. Az érvénytelen lépések sikertelen bizonyítékot jelentenek. Emellett olyan dolgokat is írhat, mint a = b = c ahol c nincs meghatározva, érvénytelen – a és b lehet, hogy nem érvényes. Az egyenleteket nem szabad használni, ha legalább az egyik oldal meghatározatlan vagy más módon érvénytelen. Tilos arra a következtetésre jutni, hogy 1/0 = 1/0, mivel mindkét oldal nincs meghatározva, ezért nem mondhatja azt, hogy egyenlőek – honnan tudhatja, hogy két dolog egyenlő, ha még fogalma sincs arról, hogy mi ez a két dolog jelentése: (és elképzelése nem lehet, mert nincs definíciója).
- „A 0 ^ 0 egy határozatlan forma, tehát nem lehet értéke – a kalkulus tankönyvem ezt mondja.” A határozatlan formák fogalma nagyon is valóságos és hasznos, amennyiben a kívánt kontextusban tartja. A határozatlan formák kizárólag a korlátok összefüggésében vonatkoznak – hogy nem lehet megnézni ezt az űrlapot és meghatározni, hogy létezik-e határérték, és ha van, akkor mi ez a határérték. A 0 ^ 0 írás arra utal, hogy mi az f (x, y) = x ^ y értéke (x, y) = (0, 0) – nem mi a határ, mivel x és y önállóan közelít a 0-hoz. Lehet, hogy létezik korlát, de a függvény nincs ott meghatározva; lehet, hogy egy függvény definiálható ott, de a határ nem létezik. A két fogalomnak semmi köze nincs egymáshoz, csak akkor, ha egyik vagy mindkét (definiáló érték és korlátozó érték) kudarcot vall, a függvény ezen a ponton nem folyamatos. Ha azt mondjuk, hogy egy határ 0 ^ 0 formát ölt, az azt jelenti, hogy pusztán ezekből az információkból nem lehet megmondani, hogy létezik-e a határ és mi az értéke. Ennek a ténynek semmi köze ahhoz, hogy 0 ^ 0 = 1, vagy nincs meghatározva. Ha azt mondjuk, hogy 0 ^ 0 = 1, az nem azt jelenti, hogy a 0 ^ 0 alakot öltő korlátnak 1-es értéknek kell lennie.
- 0 ^ y = 0 minden pozitív y és x ^ 0 = 1 minden nem nulla x esetén. (Sokan, akik ezt az érvet használják, elfelejtik, hogy az y nem lehet negatív, és a két esetet szimmetrikusként kezelik.) Ha mindkettőt 0-val helyettesíti x és y , az egyik esetben 0 ^ 0 = 0, a másik esetben 0 ^ 0 = 1 – ellentmondás , tehát nem definiálható. Nos, nézzük meg. Két olyan szám van, amelyek négyzete 9: +3 és −3; így a 9 négyzetgyöke +3, a 9 négyzetgyöke pedig –3. Ó, ellentmondásunk van, ezért nem létezhet a 9 négyzetgyöke – meg kell határoznia.Nem, a +3 hasznosabb válasz, mint a −3, ezért meghatározzuk a √9 = 3 értéket. Az a tény, hogy x ^ 0 = 1 nemcsak az összes nem nulla valós x hanem az összes nem nulla komplex x és még az összes nem nulla kvaterner x esetében is; másrészt a 0 ^ y egyenesen csak pozitív valós x esetén működik – nem negatív valós, nem képzeletbeli, ezért nincs értelme menjen azzal a definícióval, amelynek csak egy lyuk van, ahelyett, hogy komolyan fontolgatna egy olyan opciót, amelynek megszámlálhatatlan számú lyuk van ? Az 1 eredménye sokkal-sokkal, sokkal hasznosabb, mint 0 a 0 ^ 0 esetén. Ha hajlandóak vagyunk a 9 négyzetgyökét +3-nak hívni, amikor sokkal kevesebb ok van a preferenciára, akkor mennyivel inkább a 0 ^ 0 = 1 -et kell hívni, amikor nagyon erős oka van a preferenciának. Az üres termék szabály előírja az 1 és nem a 0 választását. Sok gyakorlati alkalmazás szerint az 1 rendkívül hasznos eredmény, míg a 0 vagy a meghatározatlan problematikus eredmény lenne. Egyetlen értelmes alkalmazásnak sem 0 a hasznos eredménye, ezért az 1-et választjuk.
Válasz
\ text {A binomiális tétel szerint}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m
\ text {Az a = 1 és x helyettesítése – 1}
(1 – 1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ azt jelenti, hogy 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0} – \ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2} – \ displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ text {QED}