A legjobb válasz
Kezdje azzal, hogy megfigyeli, hogy bűn A 35 ° közel van a sin 30 ° = 1/2 értékhez. Tehát azonnal tudjuk, hogy nagyjából 1/2. Ez a tényleges érték körülbelül 7\% -án belül van.
Próbáljunk jobb becslést kapni. A szögösszeadás azonossága szerint
sin 35 ° = bűn 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Mivel az 5 ° = π / 36 viszonylag kis szög, használhatjuk a közelítéseket sin x ≈ x és cos x ≈ 1. Tehát
sin 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Most π ≈ 22/7 és (√3 / 2) ≈ 7/4, mert 49/16 ≈ 3. Tehát
bűn 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Ez eltér az igazi érték kevesebb, mint 1\% -kal.
Egy másik megközelítés az, hogy kiszámítja az első pár kifejezéssel a sin Taylor-sorozatának bővítésében. x . Ez pontosabb, mint 0,1\%, de kézzel nehezebb kiszámítani, mint a 83/144.
Válasz
Bűn (35) = Bűn (45 – 10) = Bűn (45) ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)]… (1)
Most a Sin (3x) az általános képletből megegyezik a 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3-mal, tehát x = 10 fokot tesz ki, ami Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 értéket ad és ezért
3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 vagy ezzel az egyenlettel manipulálva és a Sin (10) = y-t téve kapunk
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Oldja meg ezt a kockát numerikus iteratív módszerrel, például Newton-Raphson módszerével, kézzel, hogy megszerezzen egy szlogen után:
y = 0.17364817766693 = Sin ( 10)… (2)
Nyilvánvalóan kevesebb számra mehet, attól függően, hogy mekkora a kívánt pontosság.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0,9848077530122.
Helyezze be a Cos (10) és a Sin (10) értékeit a fenti (1) mezőbe, hogy megkapja:
Sin (35) = 0.57357643639 a kívánt módon.